人教高中数学第四节 基本不等式 教案.doc

第四节　基本不等式
核心素养立意下的命题导向
1.结合作差法，了解基本不等式的证明过程，凸显逻辑推理的核心素养．
2．结合求函数最值问题，考查灵活运用基本不等式解决问题的能力，凸显数学运算的核心素养．
3．结合实际应用问题，考查利用基本不等式求最值问题，凸显数学建模的核心素养．
[理清主干知识]
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(求和的最值)已知x>0，y>0，xy＝16，则x＋y的最小值为(　　)
A．32　　　　　　　　　 B．24
C．4 D．8
解析：选D　由基本不等式得x＋y≥2＝8，当且仅当x＝y＝4时等号成立．
2．(求积的最值)若x>0，y>0，且2(x＋y)＝36，则的最大值为(　　)
A．9 B．18
C．36 D．81
解析：选A　由2(x＋y)＝36，得x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．
3．(基本不等式成立的条件)若x<0，则x＋(　　)
A．有最小值，且最小值为2
B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为－2
D．有最大值，且最大值为－2
解析：选D　因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.
4．(重要不等式的应用)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
解析：x2＋2y2＝x2＋(y)2≥2x(y)＝2，
当且仅当x＝y且xy＝1时等号成立，
所以x2＋2y2的最小值为2.
答案：2
二、易错点练清
1．(忽视变量的范围)函数f(x)＝2x＋＋1(x<0)的最大值为________．
解析：∵x<0，∴f(x)＝2x＋＋1＝－＋1≤－2 ＋1＝1－2，当且仅当－2x＝－，即x＝－时，等号成立，∴f(x)的最大值为1－2.
答案：1－2
2．(忽视基本不等式等号成立的条件)当x≥2时，x＋的最小值为________．
解析：设x＋2＝t，则x＋＝t＋－2.又由x≥2得t≥4，而函数y＝t＋－2在[2，＋∞)上是增函数，因此当t＝4，即x＝2时，t＋－2即x＋取得最小值，最小值为4＋－2＝3.
答案：3
考点一　利用基本不等式求最值
考法(一)　拼凑法求最值
[例1]　(1)已知f(x)＝(x>0)，则f(x)的最小值是(　　)
A．2　　　　　　　　 B．3
C．4 D．5
(2)(2020·天津高考)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________．
[解析]　(1)f(x)＝＝＝x＋1＋＋1，
∵x>0，∴x＋1>1，
∴x＋1＋＋1≥2＋1＝5，
当且仅当x＋1＝，即x＝1时取“＝”．
∴f(x)的最小值是5，故选D.
(2)依题意得＋＋＝＋＝＋≥2 ＝4，当且仅当＝，即a＋b＝4时取等号．因此，＋＋的最小值为4.
[答案]　(1)D　(2)4
[方法技巧]
1．拼凑法求最值
拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．
2．拼凑法求解最值应注意的问题
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项时应注意检验利用基本不等式的条件．　　
考法(二)　常数代换法求最值
[例2]　(1)已知函数y＝loga(x－1)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A.若直线mx＋ny＝2过点A，其中m，n是正实数，则＋的最小值是(　　)
A．3＋　　　　　　　 B．3＋2
C. D．5
(2)已知a>0，b>0,3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________．
[解析]　(1)由y＝loga(x－1)＋2的图象恒过定点A可知A(2,2)．所以2m＋2n＝2，所以m＋n＝1.
又因为m>0，n>0，所以(m＋n)＝3＋＋≥3＋2