人教高中数学第四节 数列求和 教案.doc

第四节　数列求和
核心素养立意下的命题导向
1.与等差、等比数列的定义和性质相结合，考查数列的求和，凸显数学运算的核心素养．
2．与不等式的证明相结合，考查数列的求和，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
方法一　分组转化法求和
若数列的通项为分段函数或几个特殊数列通项的和或差的组合等形式，则求和时可用分组转化法，就是对原数列的通项进行分解，分别对每个新的数列进行求和后再相加减．
[典例]　已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．
[解]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
a1也满足an＝n，
故数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.
记数列{bn}的前2n项和为T2n，
则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
则A＝＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
[方法技巧]
分组转化法求和的常见类型
[提醒]　某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．　　
[针对训练]
1．已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝2－2(－1)n，n∈N*，则S2 019的值为(　　)
A．2 020×1 011－1　　　　 B．1 010×2 019
C．2 019×1 011－1 D．2 019×1 011
解析：选C　由递推公式，可得：
当n为奇数时，an＋2－an＝4，数列{an}的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列；
当n为偶数时，an＋2－an＝0，数列{an}的偶数项是首项为2，公差为0的等差数列，
∴S2 019＝(a1＋a3＋…＋a2 019)＋(a2＋a4＋…＋a2 018)＝2 019×1 011－1.
2．已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前n项和Sn.
解：Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3，
所以当n为偶数时，
Sn＝2×＋ln 3＝3n＋ln 3－1；
当n为奇数时，
Sn＝2×－(ln 2－ln 3)＋ln 3
＝3n－ln 3－ln 2－1.
综上所述，Sn＝
方法二　裂项相消法求和
如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过累加将一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前n项和．　　
[典例]　在数列{an}中，a1＝4，nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和Sn.
[解]　(1)证明：nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n的两边同时除以n(n＋1)，得－＝2(n∈N*)，又＝4，
∴数列是首项为4，公差为2的等差数列．
(2)由(1)，得＝2n＋2，∴an＝2n2＋2n，
故＝＝·＝，
∴Sn＝
＝＝.
[方法技巧]
1．用裂项法求和的裂项原则及规律
(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
2．几种常见的裂项方式
数列(n为正整数)
裂项方式
(k为非零常数)
＝
＝
＝－
(a>0，a≠1)
loga＝loga(n＋1)－logan
[针对训练]
1．设数列{an}对n∈N*都满足an＋1＝an＋n＋a1，且a1＝1，则＋＋…＋＋＝________.
解析：因为a1＝1，且an＋1＝an＋n＋a1，则an＋1－an＝n＋1，那么an－an－1＝n(n≥2)，
因为an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝，
所以＝＝2.
所以＋＋…＋＋
＝2×＝.
答案：
2．(2021·郑州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝8，Sn＝－n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Tn.
解：(1)∵a