人教高中数学第四节 随机变量的分布列、均值与方差 教案.doc

第四节　随机变量的分布列、均值与方差
核心素养立意下的命题导向
1.结合离散型随机变量及其分布列的概念，考查常见离散型分布列的求法，凸显数据分析、数学运算的核心素养．
2．结合具体实例，考查超几何分布的特征及应用，凸显数学建模的核心素养．
3．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单的离散型随机变量的均值、方差，凸显数学运算的核心素养．
4．能利用离散型随机变量的均值、方差的概念解决一些简单实际问题，凸显数学建模的核心素养．
[理清主干知识]
1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．
2．离散型随机变量分布列的概念、性质及均值方差
(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．
(2)分布列的性质：①pi0，i＝1,2,3，…，n；②pi＝.
(3)称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(4)称D(X)＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．
3．常见的离散型随机变量的分布列
(1)两点分布
X
0
1
P
1－p
p
若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．
(2)超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
X
0
1
…
m
P
…
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
4．均值与方差的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数；
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；
(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；
(4)D(X)＝E(X2)－[E(X)]2；
(5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)；
(6)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；
(7)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；
(8)若X服从超几何分布，即X～H(N，M，n)，则E(X)＝，D(X)＝；
(9)若X～N(μ，σ2)，则X的均值与方差分别为E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(随机变量的概念)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　)
A．至少取到1个白球　　　　　 B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数 D．取到的球的个数
解析：选C　选项A、B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.
2．(分布列的性质)设随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
P
p
则p的值为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选C　由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，∴p＝1－＝.
3．(方差的计算)已知随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
a
0.2
0.1
则D(X)＝(　　)
A．1.44 B．1.2
C. D．2
解析：选B　由分布列性质知：0.1＋0.2＋a＋0.2＋0.1＝1，所以a＝0.4.
所以E(X)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.4＋3×0.2＋4×0.1＝2.
D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.1＝1.2.
4．(超几何分布)从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是(　　)
A. B．　
C. D．
解析：选B　设随机变量X表示取出次品的个数，X服从