人教高中数学第四节 椭圆 教案.doc

第四节　椭圆
核心素养立意下的命题导向
1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
[理清主干知识]
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a>c，则集合P为椭圆．
(2)若a＝c，则集合P为线段．
(3)若a<c，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形
性 质
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝，且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
3．常用结论
(1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴．
(2)过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.
(3)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)．
(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；
②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
③△PF1F2的周长为2(a＋c)．
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(椭圆的定义)设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则＋＝(　　)
A．4　　　　　　　　　　 B．8
C．6 D．18
解析：选C　由定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.
2．(椭圆的离心率)椭圆＋＝1的离心率是(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B　∵椭圆方程为＋＝1，
∴a＝3，c＝＝＝.
∴e＝＝.故选B.
3．(椭圆的方程)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C的方程是(　　)
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：选D　依题意，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
所以解得a2＝9，b2＝8.
故椭圆C的方程为＋＝1.
4．(求参数)椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m＝________.
解析：椭圆x2＋my2＝1可化为x2＋＝1，因为其焦点在y轴上，所以a2＝，b2＝1，依题意知 ＝2，解得m＝.
答案：
二、易错点练清
1．(忽视椭圆定义中2a>|F1F2|) 到两定点F1(－2,0)和F2(2，0)的距离之和为4的点的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．线段
C．圆 D．以上都不对
答案：B
2．(忽视对焦点位置的讨论)若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________.
解析：①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4；②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8.
答案：4或8
3．(忽视椭圆上点的坐标满足的条件)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为______________．
解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝，所以P点坐标为或.
答案：或
考点一　椭圆定义的应用
考法(一)　利用定义求轨迹方程
[例1]　(2021·济南调研)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1　　　　　　　 B.＋＝1
C.－＝1 D．＋＝1
[解析]　设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)