人教高中数学第五节 第1课时 系统知识牢基础——空间向量及其应用 教案.doc

第五节　空间向量及其应用
第1课时　系统知识牢基础——空间向量及其应用
知识点一　空间向量的概念及有关定理
1．空间向量的有关概念
名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共线向量
(或平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
[重温经典]
1．(教材改编题)若O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则(　　)
A．，， 共线　　　 B．， 共线
C．， 共线 D．O，A，B，C四点共面
解析：选D　∵向量，， 不能构成空间的一个基底，∴向量，，共面，因此O，A，B，C四点共面，故选D.
2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为(　　)
A．1,1 B．1，
C.， ` D.，1
解析：选C　＝＋＝＋＝＋(＋)，故x＝，y＝.
3．(多选)如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，＝，设＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是(　　)
A．＝b－c　　　 B．＝b＋c－a
C．＝b－c－a D．＝a＋b＋c
解析：选BD　对于A，利用向量的四边形法则，
＝＋＝b＋c，A错；
对于B，利用向量的四边形法则和三角形法则，得
＝－＝－＝－
＝＋－＝b＋c－a，B对；
对于C，因为点P在线段AN上，且AP＝3PN，
所以＝＝b＋c－a，
所以＝＝b＋c－a，C错；
对于D，＝＋＝a＋b＋c－a＝a＋b＋c，D对，故选B、D.
4.如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点，用，，表示，则＝________________.
解析：∵＝＝(＋)，∴＝＋＝(＋)＋＝＋＋.
答案：＋＋
5.如图所示，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
解析：＝＋＝a＋
＝a＋(－)＝a＋
＝a＋×(＋)＝a＋b＋c.
答案：a＋b＋c
6．设a＝(2x,1,3)，b＝(1,3,9)，若a∥b，则x＝________.
解析：∵a∥b，∴＝＝，∴x＝.
答案：
7．(易错题)给出下列命题：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
③已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc；
④若A，B，C，D是空间任意四