人教高中数学第一节 第2课时 精研题型明考向——空间几何体及其表面积、体积 教案.doc

第2课时　精研题型明考向——空间几何体及其表面积、体积
一、真题集中研究——明考情
1．(2020·全国卷Ⅰ·考查空间几何体的结构特征)
埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
解析：选C　设正四棱锥的高为h，底面正方形的边长为2a，斜高为m.
依题意得h2＝×2a×m，即h2＝am，①
易知h2＋a2＝m2，②
由①②得m＝a，
所以＝＝.故选C.
2．(2020·全国卷Ⅱ·考查三棱锥的外接球表面积)
已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为(　　)
A. 　　　B. 　　　C．1　　　D.
解析：选C　由等边三角形ABC的面积为，
得AB2＝，解得AB＝3，
则△ABC的外接圆半径r＝×AB＝AB＝.
设球的半径为R，
则由球的表面积为16π，得4πR2＝16π，得R＝2，
所以球心O到平面ABC的距离d＝＝1，
故选C.
3．(2020·浙江高考·考查圆锥的侧面积、侧面展开图)
已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．
解析：法一：设该圆锥的母线长为l，
因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，其面积为2π，
所以πl2＝2π，解得l＝2，
所以该半圆的弧长为2π.
设该圆锥的底面半径为R，则2πR＝2π，解得R＝1.
法二：设该圆锥的底面半径为R，
则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为2πR.
因为侧面展开图是一个半圆，
设该半圆的半径为r，则πr＝2πR，即r＝2R，
所以侧面展开图的面积为·2R·2πR＝2πR2＝2π，解得R＝1.
答案：1
4．(2020·新高考全国卷Ⅰ·柱体与球体的组合)
已知直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
解析：如图，连接B1D1，
易知△B1C1D1为正三角形，
所以B1D1＝C1D1＝2.
分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，
则易得D1G＝D1H＝＝，D1M⊥B1C1，且D1M＝.
由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点．
在侧面BCC1B1内任取一点P，使MP＝，连接D1P，
则D1P＝＝＝，
连接MG，MH，易得MG＝MH＝，
故可知以M为圆心，为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线．
由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，
所以的长为×2π×＝.
答案：
5．(2020·江苏高考·借助生产实际考查空间几何体的体积)
如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________ cm
3.
解析：正六棱柱的体积为6××22×2＝12(cm3)，圆柱的体积为π×0.52×2＝(cm3)，则该六角螺帽毛坯的体积是cm3.
答案：12－
6．(2020·全国卷Ⅲ·考查圆锥的内切球体积)
已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．
解析：法一：如图，在圆锥的轴截面ABC中，CD⊥AB，BD＝1，BC＝3，圆O内切于△ABC，E为切点，连接OE，则OE⊥BC.在Rt△BCD中，CD＝＝2.易知BE＝BD＝1，则CE＝2.设圆锥的内切球半径为R，则OC＝2－R.在Rt△COE中，OC2－OE2＝CE2，即(2－R)2－R2＝4，解得R＝，所以圆锥内半径最大的球的体积为πR3＝π.
法二：如图，记圆锥的轴截面为△ABC，其中AC＝BC＝3，AB＝2，CD⊥AB.在Rt△BCD中，CD＝＝2，则S△ABC＝2.设△ABC的内切圆O的半径为R，则R＝＝，所以圆锥内半径最大的球的体积为πR3＝π.
答案：π
[把脉考情]
常规
角度
1.几何体体积和表面积的计算：主要考查棱柱、棱锥或不规则几何体的体积与表面积的计算．
2.球的切、接问题：主要考查几何体与球的组合体的识辨，球的体积、表面积的计算
创新
角度
几何体的体积与表面积的计算与空间线面位置关系、数学文化、实际生产生活的应用交汇命题
二、题型精细研究——提素养
题型一　空间几何体的结构特征