人教高中数学第一节 平面向量的概念及线性运算 教案.doc

第五章 平面向量、复数
第一节　平面向量的概念及线性运算
核心素养立意下的命题导向
1.结合平面向量的有关概念，考查对向量特性的理解，凸显数学抽象的核心素养．
2．结合向量的线性运算，考查用向量刻画平面图形的能力，凸显逻辑推理的核心素养．
3．结合向量的线性运算的几何意义，考查数形结合的思想，凸显直观想象的核心素养．
[理清主干知识]
1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量，可在平面内自由平移
零向量
长度为的向量
记作0，其方向是任意的
单位向量
长度等于个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)
0与任一向量平行或共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2．向量的线性运算
向量
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(向量的有关概念)下列说法正确的是(　　)
A．方向相同的向量叫做相等向量
B．共线向量是在同一条直线上的向量
C．零向量的长度等于0
D．∥就是所在的直线平行于所在的直线
解析：选C　长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确；显然C正确；当∥时，所在的直线与所在的直线可能重合，故D不正确．
2．(多选·向量线性运算)下列各式中结果为零向量的为(　　)
A．＋＋
B．＋＋＋
C．＋＋＋
D．－＋－
答案：AD
3．(共线向量定理)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋xb与－(b－2a)共线，则x＝________.
答案：－
二、易错点练清
1．(多选·忽视零向量)下列命题中，正确的是(　　)
A．向量的长度与向量的长度相等
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
D．零向量与任意数的乘积都为零
答案：AC
2．(忽视向量相等的条件)若四边形ABCD满足∥且||＝||，则四边形ABCD的形状是______________．
解析：当||＝||时，四边形ABCD是平行四边形；
当||≠||时，四边形ABCD是等腰梯形．
答案：平行四边形或等腰梯形
考点一　平面向量的基本概念
[典例]　(1)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是(　　)
A．a＋b＝0　　　　　 　 　 B．a⊥b
C．a与b共线反向 D．存在正实数λ，使a＝λb
(2)下列说法中，正确的是(　　)
A．a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点
C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D．有相同起点的两个非零向量不平行
[解析]　(1)∵a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，∴向量a与b的方向相同，即存在正实数λ，使a＝λb，故选D.
(2)A错，当b＝0时，由a与b共线，b与c共线推不出a与c共线；B错，任意两个相等的非零向量的始点与终点也可以在一条直线上；C正确，当a与b中有零向量时，它们一定共线；D错，有相同起点的两个非零向量也可以平行，即可以共线．故选C.
[答案]　(1)D　(2)C
[方法技巧]　解决向量问题的关键点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．
(3)相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量．
(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈．
(5)非零向量a与的关系：