人教高中数学第一课时 两角和与差的正弦、余弦和正切.doc

第3节　三角恒等变换
考试要求　1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.
cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__αcos__α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝.
3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(　　)
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.(　　)
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
解析　(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ(k∈Z).
2.(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为cos＝sin＝sin ，所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝cos ＝.
3.(2021·泰安模拟)＝(　　)
A.－ B.－1 C. D.1
答案　D
解析　原式＝2×
＝2×＝2sin 30°＝1.故选D.
4.(2022·南昌质检)若tan＝2，则tan＝(　　)
A.－2－ B.－
C.2＋ D.
答案　B
解析　tan＝tan＝tan＝＝＝－.故选B.
5.化简：＝________.
答案　
解析　原式＝
＝＝＝.
6.(易错题)已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝________.
答案　
解析　因为α，β为锐角，且sin α＝＜，cos β＝＞，则cos α＝，
且α∈，sin β＝且β∈，
所以sin(α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β＝×＋×＝.
又α＋β∈，所以α＋β＝.
第一课时　两角和与差的正弦、余弦和正切
考点一　公式的基本应用
1.若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝(　　)
A. B.－ C.－ D.
答案　B
解析　∵α是第三象限角，∴sin α＜0，
且sin α＝－＝－＝－，
因此，sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝－.
2.已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A.－ B. C. D.－
答案　A
解析　∵α∈，∴cos α＝－，tan α＝－，又tan(π－β)＝，∴tan β＝－，
∴tan(α－β)＝
＝＝－.
3.(2021·德州一模)已知sin α＝sin＋，则cos的值为(　　)
A. B.－ C. D.－
答案　B
解析　由sin α＝sin＋，得sin α＝sin αcos ＋cos αsin ＋＝sin α＋cos α＋，则cos α－sin α＝－，即cos＝－.
4.若sin(2α－β)＝，sin(2α＋β)＝，则sin 2αcos β等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由sin(2α－β)＝，sin(2α＋β)＝，
可得sin 2αcos β－cos 2αsin β＝，①
sin 2αcos β＋cos 2αsin β＝，②
由①＋②得2sin 2αcos β＝，
所以sin 2αcos β＝.
感悟提升　1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记