人教高中数学技巧04 解答题解法与技巧（练）【解析版】.docx

第二篇 解题技巧篇
技巧04 解答题解法与技巧（练）
1．（2023春·北京·高三北京二中校考开学考试）已知函数的一个零点为．
(1)求A的值和函数的最小正周期；
(2)当时，若恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用即可求得，然后对函数进行化简即可；
（2）利用求得，然后根据可得即可求解
【详解】（1）因为函数的一个零点为，
所以，解得，
所以，
所以函数的最小正周期
（2）因为，所以，所以，
所以，
因为恒成立，所以，则，
所以
2．（2023·广东佛山·统考一模）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为在方向上的投影向量，且满足.
(1)求的值；
(2)若，，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】利用正弦定理，边化角，结合同角三角函数的平方式，建立方程，可得答案.
【详解】（1）由为在方向上的投影向量，则，即，
根据正弦定理，，
在锐角中，，则，即，
由，则，整理可得，解得.
（2）由，根据正弦定理，可得，
在中，，则，，，
由（1）可知，，则，
由，则，解得，，
根据正弦定理，可得，则，，
故的周长.
3．（2023·全国·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求A；
(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用二倍角公式及和角公式代入化简解方程即可.
（2）根据锐角三角形得B的范围，运用正弦定理边化角，将所求式子转化为关于的对勾函数，研究其值域即可.
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又，即，
∴，
又∵，
∴.
（2）由（1）知，
①当时，因为，所以，即，与△ABC为锐角三角形矛盾，所以不成立；
②当时，因为，所以，
所以．
由，得．
所以，
故．
因为，所以，，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以的取值范围为．
4．（2023·陕西西安·统考一模）已知等差数列的前n项和为，满足，_____________．
在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选_____________”）
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的基本量的运算可得，进而即得；
（2）利用分组求和法即得.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为
若选择条件①，则由，
得，解得，
；
若选择条件②，则由，
得，解得，
；
若选择条件③，则由，
得，解得，
；
（2）由（1）知，选择三个条件中的任何一个，都有，
则，
的前n项和
5．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入已知式子可得是等差数列，进而得到的通项公式，再由与的关系求出的通项公式.
（2）由裂项相消求和可得，再由的单调性可求得其范围.
【详解】（1）因为，所以由，
得，所以，
所以，即．
在中，令n=1，得，所以a1=1．
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，即：．
当时，，
也适合上式，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，，
所以，
因为bn＞0，所以随着n的增大而增大，所以，
又显然，所以，即的取值范围为．
6．（2023·全国·模拟预测）某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n次回答的是甲的概率为，若．
①求P2，P3；
②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．
【答案】(1)12
(2)①，；②证明过程见详解，第7次回答的是甲的可能性比第8次的大
【分析】（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为η，可得，再写出的所有可