人教高中数学解密05 各类基本初等函数（二次函数、指对幂函数等）（解析版）.docx

解密05讲：各类基本初等函数
【考点解密】
1．二次函数的图象和性质
解析式
f (x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f (x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
R
R
值域
单调性
在x∈上单调递减；
在x∈上单调递增
在x∈上单调递增；
在x∈上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x＝－对称
2．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
图象
性质
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增
在R上单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
公共点
(1,1)
3．一般幂函数的图象特征
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<
α<1时，幂函数的图象上凸．
(3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
(5)在第一象限作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
4．分数指数幂
(1)＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R)
aras＝ar＋s； ； (ar)s＝ars； (ab)r＝arbr ．
5．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0<a<1
图象
定义域
(1)R
值域
(2)(0，＋∞)
性质
(3)过定点(0,1)
(4)当x>0时，y>1；
当x<0时，0<y<1
(5)当x>0时，0<y<1；
当x<0时，y>1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数
(7)在(－∞，＋∞)上是减函数
6．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，
N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N. (e＝2.718 28…)
7．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：
①1的对数为零：loga1＝0.
②底的对数为1：logaa＝1.
③零和负数没有对数．
④＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，b>0，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③＝logab．
(3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
重要推论：①logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；
②logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
8．对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
0<a<1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性
质
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；
当0<x<1时，y<0
当x>1时，y<0；
当0<x<1时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
9．反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
【方法技巧】
1．解决二次函数图象与性质问题时要注意：
(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．
(3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题