人教高中数学解密21 双曲线（解析版）.docx

解密21 双曲线
【考点解密】
1．双曲线的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c>2a，其中a，c为常数且a>0，c>0.
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴　对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
【方法技巧】
离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：
直接求出，从而求出;
构造的齐次式，求出;
采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;
根据圆锥曲线的统一定义求解．
2.轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法.
定义法：（1）判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义；
（2）设标准方程，求方程中的基本量
（3）求轨迹方程
相关点法：（1）分析题目：与动点相关的点在已知曲线上；
（2）寻求关系式，，；
（3）将，代入已知曲线方程；
（4）整理关于，的关系式得到M的轨迹方程
【核心题型】
题型一：待定系数法求双曲线方程
1．（2023春·贵州·高三校联考）已知双曲线的焦点为，，过的直线与的左支相交于两点，过的直线与的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，以为直径的圆过，，则的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设，连接，则有，，，，在直角三角形中，由可得，在直角三角形中，由可得，再结合，即可求得答案.
【详解】解：设，则，
由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：，
连接，则有，，
由于在以为直径的圆周上，
∴，
∵为平行四边形，
∥，
∴，
在直角三角形中，，
即，
解得，
所以，；
在直角三角形中，，
即，得，
又因为，
所以，，
所以双曲线的方程为.
故选:D.
2．（2022秋·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）已知双曲线（，）的两条渐近线均和圆：相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件转化为关于的方程组，即可求解.
【详解】圆，整理为，圆心，半径，双曲线的渐近线方程，
由题意可知，，解得：，
所以双曲线的方程为.
故选：C
3．（2022秋·贵州贵阳·高二校联考阶段练****已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】不妨设A在第一象限，由条件可设，，根据双曲线的对称性及条件可得，代入圆的方程，可求，由此确定双曲线方程.
【详解】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为，双曲线的两条渐近线方程为，
不妨设A在第一象限，则，，∵四边形ABCD的面积为2b，
∴由对称性可得，又，
∴，
将代入，可得，∴，
∴双曲线的方程为1，
故选：D．
题型二：相同渐进性求双曲线方程
4．（2023·全国·高三专题练****已知双曲线C的渐近线方程为，且焦距为10，则双曲线C的标准方程是（    ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据共渐近线的双曲线的设法，结合题意分析求解．
【详解】渐近线方程为的双曲线为，即，故，故，
故选：C．
5．（2020·河南·高三校联考阶段练****已知双曲线与的渐近线相同，则曲线的方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先求得的渐近线，然后根据的渐近线相同列方程，解方程求得的值.
【详解】的渐近线方程为，的渐近线方程为，所以，即，∴.
故选：A
【点睛】本小题主要考查同双曲线渐近线有关计算，属于基础题.
6．（2018秋·安徽池州·高三