人教高中数学考点16 二次函数与幂函数（解析版）.docx

考点16 二次函数与幂函数
【命题解读】
二次函数为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；
【基础知识回顾】
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x＝－
顶点
坐标
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数
在上是增函数；
在上是减函数
[常用结论与微点提醒]
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.
3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；
(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
1、幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是(　　)
【答案】C
【解析】(1)设幂函数的解析式为y＝xα，
因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，
所以2＝4α，解得α＝.
所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x<1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项，C正确.
2、已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f (4)>f (1)，则(　　)
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
【答案】A
【解析】　由f (0)＝f (4)，得f (x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，∴f (x)先减后增，于是a>0，故选A
3、若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为(　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，2)
【答案】A　
【解析】二次函数y＝kx2－4x＋2的对称轴为x＝，当k>0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是增函数，只需≤1，解得k≥2.
当k<0时，<0，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞)．
4、若函数y＝x2－3x＋4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围为(　　)
A．(0，4] B.
C. D.
【答案】C
【解析】y＝x2－3x＋4＝＋的定义域为[0，m]，显然，在x＝0时，y＝4，又值域为，根据二次函数图象的对称性知≤m≤3，故选C.
5、不等式x2+a|x|+4≥0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．[0，+∞） B．[﹣4，+∞） C．[﹣4，4] D．（﹣∞，﹣4]
【答案】B
【解析】f（x）＝x2+a|x|+4为偶函数；
当a≥0，x＞0时，函数化为f（x）＝x2+ax+4，对称轴x＜0，f（0）＝4＞0，不等式恒成立；
当a＜0时，x＞0时，函数化为f（x）＝x2+ax+4，可得△＝a2﹣16≤0显然成立
解得﹣4≤a＜0，
综上a∈[﹣4，+∞）．
故选：B．.
6、(2017徐州、连云港、宿迁三检）已知对于任意的，都有，则实数的取值范围是 ▲ ．
【答案】
【解析】 当，即，时，满足题意；
当，即，或时，
则，解之得，所以，又因为或，所以，
综上所述，实数的取值范围为。