人教高中数学考点17 函数与方程（解析版）.docx

考点17 函数与方程
【命题解读】
函数零点以及求参数范围等问题时高考重点考查的内容，不仅在大题中体现，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上。
【基础知识回顾】
1、函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使方程f(x)＝0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．
(2)方程的根与函数零点的关系：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．所以函数y＝f(x)有零点等价于函数y＝f(x)的图像与x轴有交点，也等价于方程f(x)＝0有实根．
(3)零点存在性定理：
如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时c就是方程f(x)＝0的根．但反之，不成立．
2、 二分法
对于在区间上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程f(x)＝0的近似解就是求函数f(x)零点的近似值．
3、 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像
交点
(x1，0),_(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
2
1
0
4、有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
1、若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为（ ）
A. 0或－ B. 0 C. － D. 0或
【答案】　A
【解析】　由已知得b＝－2a，所以g(x)＝－2ax2－ax＝－a(2x2＋x)．令g(x)＝0，得x1＝0，x2＝－．
2、函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内的零点个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.4
【答案】　A
【解析】　因为函数y＝2x，y＝x3在R上均为增函数，故函数f(x)＝2x＋x3－2在R上为增函数，又f(0)＜0，f(2)＞0，故函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内只有一个零点．
3、若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. (－∞，－1) D. (－∞，－1)∪
【答案】　D
【解析】　当a＝0时，f(x)＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；
函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内是单调函数，所以f(－1)·f(1)＜0，即(5a－1)(a＋1)＞0，解得a＜－1或a＞．
4、函数f(x)＝的零点个数是________．
【答案】　3
【解析】　当x＞0时，令g(x)＝ln x，h(x)＝x2－2x．
画出g(x)与h(x)的图象如图：故当x＞0时，f(x)有2个零点．
当x≤0时，由4x＋1＝0，得x＝－，综上函数f(x)的零点个数为3．
5、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x．则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为________．
【答案】　{－2－，1，3}
【解析】　当x≥0时，f(x)＝x2－3x，令g(x)＝x2－3x－x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1．
当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)，
∴－f(x)＝x2＋3x，∴f(x)＝－x2－3x．
令g(x)＝－x2－3x－x＋3＝0，
得x3＝－2－，x4＝－2＋>0(舍)，
∴函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合是{－2－，1，3}．
7、(一题两空)已知函数f(x)＝若f(x0)＝－1，则x0＝________；若关于x的方程f(x)＝k有两个不同零点，则实数k的取值范围是________．
【答案】－1　(0，1)
【解析】解方程f(x0)＝－1，得或解得x0＝－1.关于x的方程f(x)＝k有两个不同零点等价于y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同交点，观察图象可知：当0＜k＜1时y＝f(x)的图象与直线y＝