人教高中数学课时跟踪检测（四） 基本不等式 作业.doc

课时跟踪检测（四） 基本不等式
一、基础练——练手感熟练度
1．(2021·豫北重点中学联考)设a>0，则a＋的最小值为(　　)
A．2　　　　　　　 B．2
C．4 D．5
解析：选D　a＋＝a＋1＋≥1＋2 ＝5，当且仅当a＝2时取等号，故选D.
2．设x为实数，则“x<0”是“x＋≤－2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C　若x<0，则－x>0，x＋＝－(－x)＋≤－2，∴“x<0”是“x＋≤－2”的充分条件；若x＋≤－2，则≤0，得x<0，∴“x<0”是“x＋≤－2”的必要条件．综上，“x<0”是“x＋≤－2”的充要条件．故选C.
3．(2021·沈阳模拟)在下列各函数中，最小值等于2的函数是(　　)
A．y＝x＋
B．y＝sin x＋
C．y＝
D．y＝ex＋－2
解析：选D　对于选项A，当x>0时，y＝x＋≥2 ＝2；当x<0时，y＝x＋≤－2，故A不合题意．对于选项B，由于0<x<，因此0<sin x<1，函数的最小值取不到2，故B不合题意．对于选项C，函数的关系式转化为y＝＝＋≥，故C不合题意．故选D.
4．(多选)若正数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是(　　)
A．ab有最大值 B.＋有最小值
C.＋有最小值4 D．a2＋b2有最小值
解析：选AC　∵a>0，b>0，且a＋b＝1，
∴1＝a＋b≥2，∴ab≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，
∴ab有最大值，∴A正确．
∵(＋)2＝a＋b＋2≤a＋b＋2×＝2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，
∴＋≤，即＋有最大值，B错误．
∵＋＝≥＝4，当且仅当a＝b＝时，等号成立，
∴＋有最小值4，∴C正确．
∵a2＋b2≥＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，
∴a2＋b2的最小值不是，∴D错误，故选A、C.
5．用一段长8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为(　　)
A．9 cm2 B．16 cm2
C．4 cm2 D．5 cm2
解析：选C　设矩形模型的长和宽分别为x cm，y cm，则x>0，y>0，由题意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤＝＝4(cm2)，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.故选C.
6．若x>1，则x＋的最小值为________．
解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.
当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．
答案：5
二、综合练——练思维敏锐度
1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选D　由1＝2x＋2y≥2，变形为2x＋y≤，即x＋y≤－2，当且仅当x＝y时取等号．则
x＋y的取值范围是(－∞，－2]．
2．若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B　法一：由于a＋b＝ab≤，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.
法二：由题意，得＋＝1，所以a＋b＝(a