人教高中数学秘籍11 函数性质问题归类（6大题型）（解析版）.docx

秘籍11 函数性质归类
概率预测
☆☆☆☆☆
题型预测
选择题、填空题☆☆☆☆☆
考向预测
数学语言、中心对称图形
函数知识无处不在，它可以和任何知识结合起来考察，尤其是由数学语言来判断函数的周期或者对称轴以及对称中心，再解决相应的问题，所以熟练掌握函数的基本性质是基础，而高考考察的即为延申的代数问题，包括抽象函数的理解和图象的变化。
【题型一】 中心对称性质1：几个复杂的奇函数
中心对称的数学语言：
若满足，则关于中心对称
三次函数的对称中心的横坐标即为二次求导的零点。
1．（2023·辽宁·校联考二模）设函数在上满足，，且在闭区间上只有，则方程在闭区间上的根的个数（    ）．
A．1348 B．1347 C．1346 D．1345
【答案】B
【详解】在上满足，，
关于直线和直线对称，
，，
，
，所以的周期为6，
又在闭区间上只有，则，，
且当时，通过其关于直线对称，得其值对应着的值，
则在闭区间上只有，
同理可推得在也只有两个零点，
因为，则在共有个零点，
因为，且在的图象与的图象相同，
则在上有个零点，
则方程在闭区间上的根的个数为1347个.
故选：B.
（多选）2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（    ）
A．的单调递减区间是 B．有4个零点
C．的图象关于点对称 D．曲线与轴不相切
【答案】CD
【详解】A选项：易知的定义域为，
，
令0，解得或，
所以的单调递减区间为和，A错误；
B选项：令，解得或，所以在，和上单调递增，
所以当时，取得极大值，因为，且在上单调递减，所以在上没有零点，
当时，取得极小值，因为，所以在上至多有两个零点，B错误；
C选项：设，函数定义域为，关于原点对称，
且，则为奇函数，
所以的图象关于原点对称，将的图象向下平移2个单位长度得到的图象，所以的图象关于点对称，C正确；
D选项：因为的极小值，极大值，所以曲线与轴不相切，D正确.
故选：CD.
3．（2023·湖北·统考二模）已知函数及其导函数定义域均为R，满足，记，其导函数为且的图象关于原点对称，则（    ）
A．0 B．3 C．4 D．1
【答案】D
【详解】由关于原点对称，则关于轴对称，且，
所以关于对称，关于对称，且，
又，即，则关于对称，
综上，，，则，
所以，而，故，
又，则关于对称，即，
所以，则，
所以.
故选：D
1．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数，则（    ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
【答案】B
【详解】方法一：因为，所以，
所以函数关于对称，将的函数图象向左平移个单位，关于轴对称，
即为偶函数.
方法二：因为，，
则，所以为偶函数；
又，故，，
所以，，故为非奇非偶函数；
又，故，，
所以，，故为非奇非偶函数；
又，故，，
所以，，故为非奇非偶函数.
故选：B
2．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知，若为奇函数，则实数（   ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】C
【详解】由为奇函数，定义域为R，得出过点，即，
即，解得.
则，，设，
因为，
所以是奇函数，即是奇函数.
故选：C.
3．（2023·江西·校联考二模）函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则______.
【答案】616
【详解】由函数为偶函数，则，即函数关于直线对称，
故；
由函数为奇函数，则，整理可得，
即函数关于对称，故；
因为对于，均有，
所以，
因为关于直线对称，所以，
因为关于点对称，所以，
所以，
又，解得，，
所以.
故答案为：616.
【题型二】 中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称
1.三角函数的对称中心（对称轴）有无数个，适当结合条件确定合适 。
2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心。一般情况下，选择它与坐标轴交点，或则别的合适的点
1．（2023·天津·统考二模）设函数，.当时，与的图象所有交点的横坐标之和为（
    ）
A．4051 B．4049 C．2025 D．2023
【答案】B
【详解】函数的最小正周期为2，直线为其一条对称轴，
，其图象关于直线对称，
故可作出函数函数，得图象如图：
由图像可知，在直线的右侧，包含的1012个周期，
在每个周期内和的图象都有2个交点，
则共有2024个交点，
根据对称性可知，在直线的左侧，和的图象也有2024个交点，
且在直线的两侧