人教高中数学秘籍12 导数小题归类（9大题型）（解析版）.docx

秘籍12 导数小题归类
概率预测
☆☆☆☆☆
题型预测
选择题、填空题☆☆☆☆☆
考向预测
同构式求解参数取值范围、恒成立问题
导数一直是压轴题不可撼动的题型，这里的题型很多，结合的内容也偏多，比如常出现的比较大小和恒成立问题等都结合着构造函数的思想，而如何构造就需要学生对出题人的出题思路再根据构造函数的思维从而进行推理，是不简单的知识点。
【题型一】 公切线求参
(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．
1．（2023·浙江·统考二模）与曲线和都相切的直线方程为__________.
【答案】
【详解】设直线与曲线相切于点，
因为，所以该直线的方程为，即，
设直线与曲线相切于点，
因为，所以该直线的方程为，即，
所以，解得，
所以该直线的方程为，
故答案为：.
2．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）若曲线和曲线恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【详解】由题意得，
设与曲线相切的切点为，与曲线相切的切点为，
则切线方程为，即，
，即，
由于两切线为同一直线，所以，得．
令，则，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增．
即有处取得极小值，也为最小值，且为．
又两曲线恰好存在两条公切线，即有两解，
结合当时，趋近于0，趋于负无穷小，故趋近于正无穷大，
当时，趋近于正无穷大，且增加幅度远大于的增加幅度，故趋近于正无穷大，
由此结合图像可得a的范围是，
故答案为：
3．（2023·山东日照·统考二模）已知曲线与的两条公切线的夹角余弦值为，则_________．
【答案】
【详解】曲线与互为反函数，图象关于对称，如图所示，
由题意可知，，
所以，
解得或，
因为为锐角，
所以
由对称性，不妨取直线进行研究，则直线的倾斜角为，
，
设切点的横坐标为，切点的横坐标为，则，，
，
所以，
所以直线的方程为即
，
所以，
所以直线的方程为即
所以即
所以即，
所以，即，于是有，
所以.
故答案为：.
1．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）若曲线与有三条公切线，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设公切线为是与的切点，由，得，
设是与的切点，由，得，
所以的方程为，
因为，整理得，
同理，
因为，整理得，
依题意两条直线重合，可得，
消去，得，
由题意此方程有三个不等实根，设，
即直线与曲线有三个不同的交点，
因为，令，则，
当或时，；当时，，
所以有极小值为，有极大值为，
因为，，，所以，
当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于，
故的图象简单表示为下图:
所以当，即时，直线与曲线有三个交点.
故选：A.
2．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）定义：若直线l与函数，的图象都相切，则称直线l为函数和的公切线．若函数和有且仅有一条公切线，则实数a的值为（    ）
A．e B． C． D．
【答案】C
【详解】设直线与的切点为，
因为，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为，
即该直线的方程为，即.
设直线与的切点为，
因为，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为，
即该直线的方程为，即.
因为函数和有且只有一条公切线，
所以有，
即有唯一实根.
令，则.
解，可得.
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减.
所以在处取得最大值.
当时，，，函数图象如图所示，
因为，有唯一实根，所以只有.
故选：C
3．（2023·江西上饶·统考二模）若曲线与曲线有公切线，则实数a的取值范围（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设是曲线的切点，设是曲线的切点，
对于曲线 ，其导数为 ，对于曲线 ，其导数为 ，
所以切线方程分别为：，，两切线重合，
对照斜率和纵截距可得：，解得（），令 （），
，得：，
当 时， ，是减函数，
当 时， ，是增函数，
∴且当x趋于 时，， 趋于 ；当 趋于 时， 趋于；
∴，∴；
故选：D．
【题型二】 “过点”切线条数
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法