人教高中数学专题12 坐标系与参数方程（解析版）.doc

专题12 坐标系与参数方程
1．（2021·全国高考真题（理））在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．
（1）写出的一个参数方程;
（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
【答案】（1），（为参数）；（2）或.
【分析】
（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；
（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.
【详解】
（1）由题意，的普通方程为，
所以的参数方程为，（为参数）
（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，
由圆心到直线的距离等于1可得，
解得，所以切线方程为或，
将，代入化简得
或
【点晴】
本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.
2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C的极坐标方程为．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．
【答案】（1）；（2）P的轨迹的参数方程为（为参数），C与没有公共点.
【分析】
（1）将曲线C的极坐标方程化为，将代入可得；
（2）设，设，根据向量关系即可求得P的轨迹的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.
【详解】
（1）由曲线C的极坐标方程可得，
将代入可得，即，
即曲线C的直角坐标方程为；
（2）设，设
，
，
则，即，
故P的轨迹的参数方程为（为参数）
曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，
则圆心距为，，两圆内含，
故曲线C与没有公共点.
【点睛】
关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出的参数坐标，利用向量关系求解.
1．（2021·全国高三其他模拟（理））在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）若，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与C交于A，B两点，与x轴交于点P，且，求直线l的倾斜角.
【答案】（1），；（2）或..
【分析】
（1）代入到参数方程，利用倍数关系消去参数可得直线的普通方程；利用公式结合可求得曲线的直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，由此求得关于的一元二次方程，根据的几何意义得到，由此求解出的值.
【详解】
（1）因为的参数方程为，所以，所以的普通方程为，
又因为，所以，所以，所以曲线的直角坐标方程为；
（2）将代入中，
得，即，
所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以或，
所以直线倾斜角为或.
2．（2021·河南高三其他模拟（理））在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程与直线的直线坐标方程；
（2）若与平行的直线与曲线交于，两点，且在轴上的截距为整数，的面积为，求直线的方程．
【答案】（1）；；（2）或．
【分析】
(1)利用平方关系消去参数得的普通方程；利用，得直线的直线坐标方程；（2）设直线的平行直线：，求出点到直线的距离得面积公式解方程求解
【详解】
（1）曲线的参数方程化为普通方程为．
由，，可得，
直线的直线坐标方程为．
（2）由（1）知的直线方程为，．
设直线：，由题知．
所以到直线的距离，
所以，
所以，
整理得，所以或，
因为，所以或．
所以直线的方程为或．
3．（2021·全国高三其他模拟（理））在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线与的直角坐标方程；
（2）已知直线的极坐标方程为，直线与曲线分别交于(异于点)两点，若，求.
【答案】（1）：，：；（2）
【分析】
（1）将化简为，消参即可得到的直角坐标方程，
将变为，从而求出的直角坐标方程；
（2）求出的极坐标方程，由，的极坐标方程得：，，由即可求出的值.
【详解】
解：（1）因为曲线的参数方程为为参数，
所以，
所以：；
又因曲线的极坐标方程为，
所以，
即，
所以：；
（2）的极坐标方程为：，即，
把代入，的极坐标方程得：
，，
所以，
所以，解得或，
因为，
所以，
所以.
4．（2021·全国高三其他模拟（