人教考点05 函数的应用（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(解析版）.docx

考点05 函数的应用（核心考点讲与练）
1.函数的零点
(1)函数零点的概念
如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
2
1
0
3.指数、对数、幂函数模型性质比较
　　函数
性质　　　
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化
而各有不同
4.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数
相关模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数
相关模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数
相关模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
1.识图
对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.
2.用图
借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图象，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数，求不等式的解集等.
3.转化思想在函数零点问题中的应用
方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.
4.判断函数零点个数的常用方法
(1)通过解方程来判断.
(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.
(3)将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断.
5.解函数应用问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题.
以上过程用框图表示如下：
函数与方程
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）已知函数满足，且是的一个零点，则一定是下列函数的零点的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先判断函数是奇函数，由零点定义可知，，再经过变形，结合选项判断是否是函数的零点.
【详解】因为，所以，所以函数是奇函数．由已知可得，即．所以，所以，故一定是的零点，故A正确，B错误；
又由，得，所以，故C错误；由，故D错误.
故选：A．
2．（2022·河南·模拟预测（文））已知，，若在区间上恰有4个零点，则实数a的取值范围是（       ）
A．（1，3） B．（2，4） C． D．
【答案】C
【分析】x∈，数形结合确定的范围使得图像和恰好有四个交点.
【详解】，
在区间上恰有4个零点，等价与图象恰好有4个交点，因为x∈，所以，
如图所示，
则应该满足，解得.
故选：C.
3．（2020·江西师大附中一模（理））已知函数，，的零点分别为，，，则（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】转化函数，，的零点为与，，的交点，数形结合，即得解.
【详解】函数，，的零点，即为与，，的交点，
作出与，，的图象，
如图所示，可知
故选：C
4．（2020·河南·郑州中学模拟预测（文））函数在区间上的大致图像为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析