人教考点13 函数的零点及函数的应用（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题.docx

考向13 函数的零点及
函数的应用
1．（2020·海南高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
【分析】
根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】
因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【点睛】
本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
2．（2020·天津高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】
注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D.

【点晴】
本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
1.判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,主要利用函数零点的存在性定理进行判断.首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,然后看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
2.判断函数y=f(x)的零点个数时,常用以下方法:
(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,判断函数零点的个数;
(2)根据函数的性质结合已知条件进行判断;
(3)通过数形结合进行判断,画函数图象,观察图象与x轴交点的个数来判断.
3.已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法:
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,再数形结合求解.
4.解决函数应用问题的步骤
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;
(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;
(3)解模:求解数学模型,得出数学结论;
(4)还原:将数学结论还原为实际问题的意义.
1.零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续曲线,且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,此时这个c就是方程f(x)=0的根.
2.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)与y=g(x)的图象交点的横坐标.
【知识拓展】
判断函数零点个数的方法:
(1)利用零点存在性定理判断法;
(2)代数法:求方程f(x)=0的实数根;
(3)几何法:对于不易求根的方程,将它与函数y=f(x)的图象联系起来,利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时,可用求导的方法判断函数的单调性.

1．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）函数在上的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数，方程有两解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟）（多选题）在下列区间中，函数一定存在零点的区间为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·河北饶阳中学高三其他模拟）已知函数有两个不同的零点，则实数k的取值范围是_________.
1．（2021·北京清华附中高三其他模拟）函数的零点一定