人教考点25 二项式定理及其应用（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(解析版）.docx

考点25 二项式定理及其应用（核心考点讲与练）
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N+)；
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质
性质描述
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性
二项式系数C
当k＜(n∈N+)时，是递增的
当k＞(n∈N+)时，是递减的
二项式
系数最
大值
当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
1.与二项展开式有关问题的解题策略
（1）求展开式中的第n项，可依据二项式的通项直接求出第n项．
（2）求展开式中的特定项，可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．
（3）已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．
2.（1）二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：C(k＝0，1，2，…，n)．
（2）二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成立．因此，可将a，b设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令
a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、－1或0”，有时也取其他值．
3.一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝．
4.二项式定理及通项的应用
(1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用.有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理.
(2)运用二项式定理一定要牢记通项Tk＋1＝Can－kbk，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题.
(3)在通项Tk＋1＝Can－kbk(n∈N+)中，要注意有n∈N+，k∈N，k≤n，即k＝0，1，2，…，n.
2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
求展开式的指定项
1.（2021山东师范大学附属中学高三上期中）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为65，则常数项为______.
【答案】60
【分析】由题设可得求n，再写出二项式展开式的通项，确定常数项对应的r值，即可求常数项.
【详解】由题设，令，则各项系数和为，而二项式系数和为，
∴，可得.
∴二项式展开式通项为，
当时，常数项为.
故答案为：
2.（2021吉林省桦甸市四中高三上10月月考）若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式中二项式系数最大的项为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】令可求得的值，再根据二项式系数的性质结合展开式的通项可求得二项式系数最大的项.
【详解】令可得，
所以，展开式有项，
所以二项式展开式中二项式系数最大的为第项，
，
故选：A.
3.（2021新疆克拉玛依市高三第三次模拟检测）若二项式的展开式中所有项的二项式系数和为128，则该二项式展开式中含有项的系数为（ ）
A. 1344 B. 672 C. 336 D. 168
【答案】B
【分析】先求出，再写出二项式展开式的通项，令的指数等于5即可求解.
【详解】因为二项式的展开式中所有项的二项式系数和为128
所以，解得，
所以的展开式通项为：，
令可得，
所以该二项式展开式中含有项的系数为.
故选：B.
4．（2021安徽省怀宁中学高三上模拟测试）的展开式中项的系数为（ ）
A.140 B． C． D.1120
【答案】B
【分析】利用二项式定理求的展开式中，和项的系数，从而可求的展开式中项的系数．
【详解】，
的展开式的通项公式为，
令，得，所以；
令，得，所以；
令，得，所以，
所以的展开式中项的系数．
故选：B．
5.（2021北京市第十三中学高三上期中）在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. D.