人教考向27 等差数列及其前n项和（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题.doc

考向27 等差数列及其前n项和
1．（2021·全国高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【答案】(1)；(2)7.
【分析】
(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】
(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
【点睛】
等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
2．（2021·全国高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题设中的递推关系可得，从而可求的通项.
（2）根据题设中的递推关系可得的前项和为可化为，利用（1）的结果可求.
【详解】
（1）由题设可得
又，，
故，即，即
所以为等差数列，故.
（2）设的前项和为，则，
因为，
所以
.
【点睛】
方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．
2.确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
3.判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数．
(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.
(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)．
(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．
(2)等差中项
若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝.
【知识拓展】
等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列．

1．（2021·海南高三）设数列的前项和为，若，且，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·赤峰二中高三（理））若等差数列{an}的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则数列{an}的前n项和Sn取最小值时，n的值等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2021·嘉峪关市第一中学高三（理））设是等差数列的前项和，若，，则_____________．
4．（2021·黑龙江实验中学（文））在数列中，，，，记是数列的前n项和，则___________.
1．（2021·黑龙江实验中学（文））等差数列的前15项和，则（ ）
A．-2 B．6 C．10 D．14
2．（2021·云南曲靖·（文））在等差数列中，若，则数列的前13项和=（ ）
A．5200 B．2600 C．1500 D．1300
3．（2021·江西省铜鼓中学高二开学考试（理））已知等差数列且，则数列的前13项之和为（ ）
A．24 B．39 C．104 D．52
4．（2021·福建莆田·高三）已知等差数列满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国高三专题练**