人教高中数学第31讲 平面向量的应用（解析版）.docx

第31讲 平面向量的应用
【基础知识全通关】
一：法向量与点到直线的距离
1．对于直线是直线的方向向量，是直线的法向量．
2．已知直线和定点，且，为与垂直的单位向量，则P到直线的距离=．
【微点拨】
（1）如果给出的方程不是一般式，应先将方程化为一般式；
（2）利用点到直线的距离公式，可以得到两平行直线之间的距离，应用此公式时，要预先把两直线中的的系数调整到分别相同才行．
二：向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：
（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．
（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或x1y2－x2y1=0）．
（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或x1x2+y1y2=0）．
（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式．
（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
【微点拨】
用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了．
三：向量在解析几何中的应用
在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．
常见解析几何问题及应对方法：
（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质．
（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程．
（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件．
（4）夹角问题：利用公式．
四：向量在物理中的应用
（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象．
（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积．
（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论．
【考点研****一点通】
考点一：点到直线的距离公式
1．求经过P（-1，2）与直线平行的直线的方程．
【点拨】由于两线平行，它们的方向向量共线，只要求出已知直线的方向向量即为所求直线的方向向量，从而可求出直线方程．
【答案】
【解析】
方法一：直线的方向向量为，设是所求直线上任意一点，则，得，
即为所求直线方程．
方法二：由直线的方向向量为，故所求直线的斜率为-1，由点斜式可得过点P（-1，2）的直线方程为，即．
【总结】方法二是大家通常能想到的方法，方法一是利用向量来解决问题，若能熟练使用，可达到事半功倍的效果．
【变式1-1】已知直线与的方程分别为，直线平行于，直线与的距离为，与的距离为，且，求直线的方程．
【答案】
【解析】
因为直线平行于，可设的方程为，在上取一点，平行线间距离处处相等，
所以点到直线的距离为，
即．
同理，在上取点，可得
因为，所以．
解得或，于是直线的方程为．
考点二：向量在平面几何中的应用
2．用向量法证明：直径所对的圆周角是直角．
已知：如下图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点（不与A、B重合），求证：∠APB＝90°．
证明：联结OP，设向量，则且，
，即∠APB＝90°．
【总结】解决垂直问题，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积为零，而在此过程中，则需运用向量运算，将目标向量用基底表示，通过基底的数量积运算式使问题获解，如本题便是将向量，由基底，线性表示．当然基底的选取应以方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知．
【变式2-1】如下图，正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且AE、CD交于点P．求证：BP⊥CD．
【点拨】将向量和用基底表示，然后把证明线段垂直问题，转化成的问题．
【解析】设，正三角形ABC的边长为a，
则．
又，，∴．
∴．
于是有，解得．
∴，