人教高中数学第七节 函数与方程 教案.doc

第七节　函数与方程
核心素养立意下的命题导向
1.通过判断具体函数零点的个数或零点所在区间，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
2．通过函数零点或方程根的存在情况求参数的取值范围，凸显直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无
零点个数
_2_
_1_
_0_
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(判断零点所在区间)函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是(　　)
A．(1,2)　　　　　　　　 B．(2,3)
C.和(3,4) D．(4，＋∞)
答案：B
2．(求函数零点个数)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：B
3．(求函数零点)函数f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零点为________．
答案：－，，1,2
二、易错点练清
1．(忽视零点的概念与性质)给出下列命题：
①函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)；
②函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0；
③二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点；
④若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．
其中正确的是________(填序号)．
答案：③④
2．(忽视区间端点值)函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则k的取值范围是________．
答案：
考点一　函数零点所在区间的判断
[典例]　函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为(　　)
A．(0,1)　　　　　　　 B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[解析]　法一：利用零点存在性定理
因为函数f(x)是增函数，且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，所以由零点存在性定理得函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故选C.
法二：数形结合
函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在区间转化为g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋3的图象的交点横坐标所在范围．如图所示，可知f(x)的零点在(2,3)内．
[答案]　C
[方法技巧]
判断函数零点(方程的根)所在区间的方法
解方程法
当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上
定理法
利用零点存在性定理进行判断
数形结合法
画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断
[针对训练]
1．方程x＝x的解所在的区间是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D．
解析：选B　令函数f(x)＝x－x，
易知函数f(x)为[0，＋∞)上的减函数．
又f(0)＝1>0，f＝－>0，f＝－<0，
由函数零点的存在性定理可知函数f(x)＝x－x的零点所在的区间是.
即方程x＝x的解所在的区间是.故选B.
2．已知函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点在(k∈Z)内，那么k＝________.
解析：∵f′(x)＝＋2>0，x∈(0，＋∞)，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f＝ln －1<0，f(3)＝ln 3>0，∴f(x)的零点在内，则整数k＝5.
答案：5
考点二　函数零点个数的判断
[典题例析]　
(1)(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为(　　)
A．2　　　　　　　 　 　 B．3
C．4 D．5
(2)函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(3)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个