人教高中数学专题14 数列的通项公式常考求法（分层训练）（解析版）.docx

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专题14 数列的通项公式常考求法
【练基础】
一、单选题
1．（2023·四川成都·统考一模）已知数列的前项和为．若，则（    ）
A．512 B．510 C．256 D．254
【答案】C
【分析】根据与的关系，结合等比数列的定义、等比数列的通项公式进行求解即可.
【详解】由，
所以数列是以2为首项，2为公式的等比数列，于是，
故选：C
2．（2023·四川攀枝花·统考二模）已知正项数列的前n项和为，且，设，数列的前n项和为，则满足的n的最小正整数解为（    ）
A．15 B．16 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由递推关系求得、，根据关系可得，由等差数列定义求出通项，最后应用对数的运算性质可得，进而求对应n的范围，即可得答案.
【详解】由题设且，当时，，则，
当时，，则，可得，
所以，
当时，，则，
由上，也成立，故是首项、公差均为1的等差数列，则，即，
又，
所以，即，故的n的最小正整数解为.
故选：A
3．（2022·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状后人称为“三角垛”（如图所示的是一个4层的三角躁）,“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,…,设第
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层有个球,从上往下层球的总数为,则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先根据规律写出递推关系式,即可判断选项D的正误;再利用累加法即可求得通项公式,即选项C正误,求出前7项,即可得选项B正误,求出通项公式,利用裂项相消即可得选项A的正误.
【详解】解:由题知,第一层有1个球,
第二层有3个球,即,
第三层有6个球,即,
则第四层的球数为,
当第层有个球时,
第层有个球,
所以,
故选项D错误;
因为
,
,
,
,
将上述式子相加可得:
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,
故,
所以,
故选项A正确;
因为,
,
故选项B错误;
因为,
故选项C错误.
故选:A
二、多选题
4．（2022·河南开封·统考一模）已知数列的前项和，若，则（    ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】C
【分析】当时，由可得，当时，，验证是否适合可得通项公式，代入通项公式求解可得结果.
【详解】解：当时，，
当时，，
，符合上式，
数列的通项公式为：
，
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故选：C.
5．（2022·全国·高三专题练****已知数列的前n项和为，，，，数列的前n项和为，则（    ）
A．0 B．50 C．100 D．2525
【答案】B
【分析】法一：先利用求出，利用累乘法得到，再分组求和；
法二：先利用求出，又易知，从而得到为常数列，求出，再分组求和.
【详解】法一：由于①，则当时，②，
①-②，得，即，易知，
所以．
又满足，故，则，
易知，所以.
法二：由于①，则当时，②，
①-②，得，即，又易知，
所以数列为常数列，所以，所以，则，
易知，所以.
故选：B．
6．（2023·四川内江·统考一模）已知数列满足：，点在函数的图象上，记为的前n项和，则（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
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【分析】由以及解析式求出，再由得出答案.
【详解】由题得，解得，故，所以
故选：A．
7．（2023·全国·高三专题练****已知数列{}满足，，则数列{}第2022项为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先通过条件得到，再利用累加法即可求解.
【详解】解：由.得，
又，可得
所以，，，……，
，将上式相加得
，
故选：A.
8．（2023·全国·高三专题练****已知正项数列的前n项和为，，记，若数列的前n项和为，则（    ）
A． B． C．200 D．400
【答案】C
【分析】利用关系及等差数列的定义求的通项公式，进而可得，根据正弦函数的周期性并讨论，求得，即可求.
【详解】由题设，则，
所以，又为正项数列，则，
由，可得，
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所以是首项为1，公差为2的等差数列，则，故，
当且，；
当且，；
当且，；
当且，；
则，
由.
故选：C
9．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知是等比数列的前项和，且，则下列说法正确的是（    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据与的关系以及是等比