人教专题3.1 函数的概念及其表示 2022年高考数学一轮复习讲练测（讲）解析版.docx

专题3.1 函数的概念及其表示
新课程考试要求
1．了解函数的概念，会求简单的函数的定义域和值域.
2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法.
3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.
核心素养
培养学生数学抽象（例1.3）、数学运算（例2--12）、数学建模（例9）、直观想象（例5.10）等核心数学素养.
考向预测
1.分段函数的应用,要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质．
2．函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查.
【知识清单】
1．函数的概念
函数
两个集合
A，B
设A，B是两个
非空数集
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
2．函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
3．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
【考点分类剖析】
考点一 函数的概念
【典例1】【多选题】（2021·浙江高一期末）在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ACD
【解析】
根据同一函数的要求，两个函数的定义域和对应法则应相同，对四个选项中的两个函数分别进行判断，得到答案.
【详解】
A选项，定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数，故A符合题意；
B选项，，与定义域相同，对应法则也相同，所以二者是同一函数，故B不符合题意；
C选项，定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数， 故C符合题意；
D选项，定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数，故D符合题意；
故选：ACD.
【规律方法】
函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同．
【变式探究】
（2021·浙江高一期末）下列函数中，与函数是相等函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
依次判断各个选项的解析式和定义域是否和相同，二者皆相同即为同一函数，由此得到结果.
【详解】
的定义域为；
对于A，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，A错误；
对于B，，与定义域相同，解析式相同，是同一函数，B正确；
对于C，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，C错误；
对于D，，与解析式不同，不是同一函数，D错误.
故选：B.
【易混辨析】
1.判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同．
2.从图象看，直线x=a与图象最多有一个交点.
考点二：求函数的定义域
【典例2】（2019·江苏高考真题）函数的定义域是_____.
【答案】.
【解析】
由已知得,
即
解得，
故函数的定义域为.
【典例3】（2021·全国高一课时练****1）已知的定义域为，求函数的定义域；
（2）已知的定义域为，求的定义域；
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
利用抽象函数的定义域求解.
【详解】
（1）∵中的的范围与中的x的取值范围相同．
∴，
∴，
即的定义域为．
（2）由题意知中的，
∴.
又中的取值范围与中的x的取值范围相同，
∴的定义域为．
（3）∵函数的定义域为，
由，得，
∴的定义域为．
又，即，
∴函数的定义域为.
【规律方法】
1.已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
2．抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
【变式探究】
1.