人教专题4.2 应用导数研究函数的单调性 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版.docx

专题4.2 应用导数研究函数的单调性
新课程考试要求
1. 了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.
核心素养
本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、数学建模、直观想象（例4.5）、数学运算（多例）、数据分析等.
考向预测
（1）以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；
（2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结合考查，综合性较强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性．
【知识清单】
1．利用导数研究函数的单调性
在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.
在上为增函数．
在上为减函数．
【考点分类剖析】
考点一 ：判断或证明函数的单调性
【典例1】（2020·辽宁高三期中）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）若时，函数在上单调递增；若时，函数在上单调递减，在上单调递增；（2）.
【解析】
（1）先求导，根据导数和函数的单调性的关系，分类讨论即可求出；
（2）对求导得，由在区间上是增函数，可得时，恒成立，令，，利用导数求出的最小值，即可求得的取值范围.
【详解】
解：（1）函数的定义域为，
，
①若时，，此时函数在上单调递增；
②若时，令，可得，，可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
（2），
若函数在区间上是增函数，
又当时，恒成立，
令，，则，
令，有，可得函数的增区间为，减区间为，
所以，
有，
故实数的取值范围为.
【典例2】（2020·全国高考真题（理））已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.
【解析】
(1)由函数的解析式可得：，则：
，
在上的根为：，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
【规律方法】
1．利用导数证明或判断函数单调性的思路
求函数f(x)的导数f′(x)：(1)若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f′(x)<0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递减；(3)若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f'(x)；③由f'(x)>0（或f'(x)<0）解出相应的x的取值范围，当f'(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)<0时，f(x)在相应区间上是减增函数.
【变式探究】
1. （2020·全国高考真题（文））已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.
【解析】
（1）当时，，，
令，解得，令，解得，
所以的减区间为，增区间为；
2.已知函数，。
（Ⅰ）若 ，求的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性。
【答案】(Ⅰ)a=3；(Ⅱ)答案见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意可得：，故，∴.
(Ⅱ)∵函数，其中a>1，
∴f(x)的定义域为(0,+∞)，，
令f′(x)=0,得x1=1,x2=a−1.
①若a−1=1,即a=2时,，故f(x)在(0,+∞)单调递增.
②若0<a−1<1，即1<a<2时，
由f′(x)<0得，a−1<x<1；
由f′(x)>0得，0<x<a−1，或x>1.
故f(x)在(a−1,1)单调递减,在(0,a−1),(1,+∞)单调递增.
③若a−1>1，即a>2时，
由f′(x)<0得,1<x<a−1;由f′(x)>0得，0<x<1，或x>a−1.
故f(x)在(1,a−1)单调递减,在(0,1),(a−1,+∞)单调递增.
综上可得,当a=2时,f(x)在(0,+∞)单调递增；
当1<a<2时,f(x)在(a−1,1)单调递减,在(0,a−1),(1,+∞)单调递增；
当a>2时,f(x)在(1,a−1)单调递减,在(0,1),(a−1,+∞)单调递增.
【易错提醒】
1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域.
2.当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：(1)f′(x)＝0是否有根；
(2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定义域内；
(3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小．
考点二 ：求函数的单调区间
【典例3】（2021·安徽芜