人教高中数学专题16 等差数列及其前n项和(解析版).docx

专题16 等差数列及其前n项和
【考纲要求】
1、理解等差数列的定义，会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.
2、掌握等差中项的概念，深化认识并能运用，掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.
3、经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.
4、熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．
【思维导图】
一、等差数列的概念
【考点总结】
1、数列前n项和的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
等差数列{an}的概念可用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*)．
[化解疑难]
1．“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．
2．“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了： ①作差的顺序；②这两项必须相邻．
3．定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列.
2、等差中项
如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是A＝.
[化解疑难]
1．A是a与b的等差中项，则A＝或2A＝a＋b，即两个数的等差中项有且只有一个．
2．当2A＝a＋b时，A是a与b的等差中项.
3、等差数列的通项公式
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d
递推公式
通项公式
an－an－1＝d(n≥2)
an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)
[化解疑难]
由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列．
二、等差数列的前n项和
【考点总结】
1、数列前n项和的概念
把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记做Sn．则 a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝Sn－1(n≥2)．
思考　由Sn与Sn－1的表达式可以得出
an＝
2、等差数列前n项和公式
1．公式1：若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝．
2．公式2：若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝na1＋n(n－1)d．
3．推导方法：倒序相加法
过程：Sn＝a1＋a2＋…＋an，
Sn＝an＋an－1＋…＋a1，
∵a1＋an＝a2＋an－1＝…＝an＋a1，
∴2Sn＝n(a1＋an)，
∴Sn＝.
4．从函数角度认识等差数列的前n项和公式
(1)公式的变形
Sn＝na1＋＝n2＋(a1－)n.
(2)从函数角度认识公式
①当d≠0时，Sn是项数n的二次函数，且不含常数项；
②当d＝0时，Sn＝na1，不是项数n的二次函数．
3、等差数列前n项和的性质
1．若数列{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则数列也是等差数列，且公差为.
2．若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d．
3．设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝.
4．若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，
S偶－S奇＝nd，＝.
5．若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，
S偶－S奇＝－an＋1，＝.
【题型汇编】
题型一：等差数列及其通项公式
题型二：等差数列的性质
题型三：等差数列的前n项和
题型四：等差数列的前n项和的函数特性
【题型讲解】
题型一：等差数列及其通项公式
一、单选题
1．（2022·江西九江·三模（文））等差数列中，若，则（       ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】B
【解析】
【分析】
根据列出关于的两个方程，解出， 代入即可得到答案
【详解】

，解得

故选：B
2．（2022·四川成都·三模（文））在等差数列中，已知，，则数列的公差为（       ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
设公差为，依题意根据等差数列的通项公式得到方程组，解得即可；
【详解】
解：设公差为，由，，
所以，解得 ；
故选：D
3．（2022·山西大附中三模（理））已知等差数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足，，则（