人教高中数学专题01 三角函数的图象与性质（解析版）.docx

专题01 三角函数的图象与性质
1、【2022年全国甲卷】将函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（       ）
A．16 B．14 C．13 D．12
【答案】C
【解析】由题意知：曲线C为y=sinωx+π2+π3=sin(ωx+ωπ2+π3)，又C关于y轴对称，则ωπ2+π3=π2+kπ,k∈Z，
解得ω=13+2k,k∈Z，又ω>0，故当k=0时，ω的最小值为13.
故选：C.
2、【2022年全国甲卷】设函数f(x)=sinωx+π3在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（       ）
A．53,136 B．53,196 C．136,83 D．136,196
【答案】C
【解析】：依题意可得ω>0，因为x∈0,π，所以ωx+π3∈π3,ωπ+π3，
要使函数在区间0,π恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx，x∈π3,3π的图象如下所示：
则5π2<ωπ+π3≤3π，解得136<ω≤83，即ω∈136,83．
故选：C．
3、【2022年全国乙卷】函数fx=cosx+x+1sinx+1在区间0,2π的最小值、最大值分别为（       ）
A．−π2，π2 B．−3π2，π2 C．−π2，π2+2 D．−3π2，π2+2
【答案】D
【解析】f'x=−sinx+sinx+x+1cosx=x+1cosx，
所以fx在区间0,π2和3π2,2π上f'x>0，即fx单调递增；
在区间π2,3π2上f'x<0，即fx单调递减，
又f0=f2π=2，fπ2=π2+2，f3π2=−3π2+1+1=−3π2，
所以fx在区间0,2π上的最小值为−3π2，最大值为π2+2.
故选：D
4、【2022年新高考1卷】记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T．若2π3<T<π，且y=f(x)的图象关于点(3π2,2)中心对称，则f(π2)=（       ）
A．1 B．32 C．52 D．3
【答案】A
【解析】由函数的最小正周期T满足2π3<T<π，得2π3<2πω<π，解得2<ω<3，
又因为函数图象关于点(3π2,2)对称，所以3π2ω+π4=kπ,k∈Z，且b=2，
所以ω=−16+23k,k∈Z，所以ω=52，f(x)=sin(52x+π4)+2，
所以f(π2)=sin(54π+π4)+2=1.
故选：A
5、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
【答案】C
【解析】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选：C．
6、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
7、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
8、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
【答案】
【解析】由题意可得：，
当时，，
令可得：，
据此有：.
故答案为：.
9、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
【答案】2
【解析】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，