人教高中数学专题1 圆锥曲线的方程与轨迹方程（解析版）.docx

专题1 圆锥曲线的方程与轨迹方程
一、考情分析
求圆锥曲线的方程,一般出现在圆锥曲线解答题的第（1）问,多用待定系数法,通过解方程确定待定系数,考查频率非常高,也比较容易得分；求圆锥曲线的轨迹方程一般用定义法,有时可用到直接法、相关点法、交轨法等,难度一般中等或中等以下.
二、解题秘籍
(一)用待定系数法求圆锥曲线的方程
1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组．如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0,n>0,m≠n)的形式．
2.双曲线标准方程的形式,注意焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,那么焦点在y轴上.确定方程的形式后,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值, 当双曲线焦点的位置不确定时,为了避免讨论焦点的位置,常设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(A·B＜0),这样可以简化运算.
3. 如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可．与双曲线－＝1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示－＝λ(λ≠0)．
4. 利用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤
(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型.
(2)求参数p的值.
(3)确定抛物线的标准方程.
【例1】（2023届山西省长治市高三上学期质量检测）已知点在椭圆：（）上,且点到椭圆右顶点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点,是椭圆上不同的两点（均异于）且满足直线与斜率之积为．试判断直线是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由．
【解析】（1）点,在椭圆：（）上代入得：,
点到椭圆右顶点的距离为,则,
解得,,
故椭圆的方程为．
（2）由题意,直线的斜率存在,可设直线的方程为（）,,,．
联立得．
．
∴,,
∵直线与直线斜率之积为．
∴,
∴．
化简得,
∴,
化简得,解得或．
当时,直线方程为,过定点．
代入判别式大于零中,解得（）．
当时,直线的方程为,过定点,不符合题意．
综上所述：直线过定点．
【点评】利用待定系数法求椭圆的方程,一般需要两个独立的条件确定关于的等式.
【例2】（2023届广东省开平市忠源纪念中学高三阶段性检测）已知双曲线的离心率为,点在上.
(1)求双曲线的方程.
(2)设过点的直线与双曲线交于两点,问在轴上是否存在定点,使得为常数？若存在,求出点的坐标以及该常数的值；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）因为双曲线的离心率为,
所以,化简得.
将点的坐标代入,可得,
解得,
所以的方程为.
（2）设,直线的方程为,联立方程组消去得（1-,
由题可知且,即且,
所以.
设存在符合条件的定点,则,
所以.
所以,
化简得.
因为为常数,所以,解得.
此时该常数的值为,
所以,在轴上存在点,使得为常数,该常数为.
【点评】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值．注意用待定系数法确定双曲线的标准方程要注意方程的个数要与未知数的个数相等.
【例3】（2023届甘肃省张掖市高三上学期诊断）已知抛物线上的点到其焦点F的距离为.
(1)求抛物线C的方程；
(2)点在抛物线C上,过点的直线l与抛物线C交于,两点,点H与点A关于x轴对称,直线AH分别与直线OE,OB交于点M,N(O为坐标原点),求证：.
【解析】（1）由点在抛物线上可得,,解得.
由抛物线的定义可得,整理得,解得或(舍去).
故抛物线C的方程为.
（2）由在抛物线C上可得,解得,所以,
直线OE的方程为,
因为点和点关于轴对称,所以,均不为0.
由题意知直线l的斜率存在且大于0,
设直线l的方程为,
联立消去y,得.
则,得,所以,.
由直线OE的方程为,得.
易知直线OB的方程为,故.
要证,即证,
即证,即证,
即证,则,此等式显然成立,
所以.
【点评】用待定系数法求抛物线的标准方程,只需要确定p的值,因此只需要由已知条件整理出一个关于p的等式.
(二)直接法求曲线轨迹方程
1.直接法求曲线方程的关键就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤,但最