人教高中数学专题03 正余弦定理及其应用（解析版）.docx

专题03 正余弦定理及其应用
1、【2022年全国甲卷】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在AB上，CD⊥AB．“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+CD2OA．当OA=2,∠AOB=60°时，s=（       ）
A．11−332 B．11−432 C．9−332 D．9−432
【答案】B
【解析】：如图，连接OC，
因为C是AB的中点，所以OC⊥AB，
又CD⊥AB，所以O,C,D三点共线，
即OD=OA=OB=2，
又∠AOB=60°，
所以AB=OA=OB=2，
则OC=3，故CD=2−3，
所以s=AB+CD2OA=2+2−322=11−432.
故选：B.
2、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）在中，已知，，，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【解析】设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故选：D.
3、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
【答案】
【解析】文由题意，，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.
4、（2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
【答案】
【解析】
由题意，，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.
5、【2021年乙卷理科】魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点
，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（       ）
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
【答案】A
【解析】如图所示：
由平面相似可知，，而 ，所以
，而 ，
即＝ ．
故选：A.
6、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】设
故选：C
7、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，，，
根据余弦定理：
可得 ，即
由
故.
故选：A.
8、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，证明：△ABC是直角三角形．
【解析】（1）因为，所以，
即，
解得，又，
所以；
（2）因为，所以，
即①，
又②， 将②代入①得，，
即，而，解得，
所以，
故，
即是直角三角形．
9、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）由余弦定理得：，
即.
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为.
10、【2022年全国甲卷】已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD．当ACAB取得最小值时，BD=________．
【解析】设CD=2BD=2m>0，
则在△ABD中，AB2=BD2+AD2−2BD⋅ADcos∠ADB=m2+4+2m，
在△ACD中，AC2=CD2+AD2−2CD⋅ADcos∠ADC=4m2+4−4m，
所以AC2AB2=4m2+4−4mm2+4+2m=4(m2+4+2m)−12(1+m)m2+4+2m=4−12(m+1)+3m+1
≥4−122(m+1)⋅3m+1=4−23，
当且仅当m+1=3m+1即m=3−1时，等号成立，
所以当ACAB取最小值时，m=3−1.
故答案为：3−1.
11、【2021年乙卷文科】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
【答案】
【解析】由题意，，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.
12、【202