人教高中数学专题06 利用导数研究函数的最值(解析版).docx

专题06 利用导数研究函数的最值
专项突破一 函数最值与极值关系
一、单选题
1．是定义在的函数，导函数在内的图象如图所示，则下列说法有误的是（       ）
A．函数在一定存在最小值 B．函数在只有一个极小值点
C．函数在有两个极大值点 D．函数在可能没有零点
【解析】
由导函数的图像可知原函数的图像如图所示，
对于A：不确定端点及极小值的大小，同时端点值取不到，故不一定有最小值，A错误；
对于B：由图像可知只有一个极小值，B正确；
对于C：由图像可知有两个极大值，C正确；
对于D：函数图像极值大小不确定且可以上下平移，故在可能没有零点，D正确.
故选：A.
2．已知函数的导函数图像，如图所示，那么函数（       ）
A．在上单调递增 B．在处取得极小值
C．在处切线斜率取得最大值 D．在处取得最大值
【解析】结合图像易知，当时，函数是减函数，
当时，函数取极小值，当时，函数是增函数，
当时，函数取极大值，不一定是最大值，
当时，函数是减函数，结合上述易知，A、B、D错误，
因为函数在某点处的导函数值即函数在这点处的切线斜率，
所以由图像易知，在处切线斜率取得最大值，C正确，故选：C.
二、多选题
3．下列关于极值点的说法正确的是（       ）
A．若函数既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值
B．在任意给定区间上必存在最小值
C．的最大值就是该函数的极大值
D．定义在上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点
【解析】A选项，例如，在处取得极小值，在处取得极大值，而，故极大值不一定大于极小值，A错误，
C选项，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
根据极值的定义可知：在处取得极大值，也是最大值，C正确；
对于D，无极值点，有无数个极值点，D正确；
在R上为连续函数，因为连续函数在闭区间上必定存在最值，所以B正确；
故选：BCD．
4．下列说法正确的是（       ）
A．极值点处的导数值为
B．极大值一定比极小值大
C．可导函数在闭区间内的最大值必在极值点或区间端点处取得
D．如果函数的定义域为，且在上递减，在上递增，则的最小值为
【解析】对于A，函数的极值点处未必可导，如是的极值点，但在处不可导，A错误；
对于B，函数的极大值和极小值可能有无数个，是由函数的单调性得到的，大小关系不确定，B错误；
对于C，可导函数在闭区间内连续，其最值必在极值点或区间端点处取得，则最大值也必在极值点或区间端点处，C正确；
对于D，由单调性可知，函数在区间内有唯一的极小值点，且根据单调性可知其为最小值点，即最小值为，D正确.
故选：CD.
5．（多选）下列结论中不正确的是（       ）.
A．若函数在区间上有最大值，则这个最大值一定是函数在区间上的极大值
B．若函数在区间上有最小值，则这个最小值一定是函数在区间上的极小值
C．若函数在区间上有最值，则最值一定在或处取得
D．若函数在区间内连续，则在区间内必有最大值与最小值
【解析】若函数在区间上有最值，则最值可能在极值点或区间端点处取得，故A，B，C都不正确；函数在闭区间上一定有最值，故D正确.故选：ABC.
专项突破二 求具体函数最值
一、单选题
1．在区间上的最大值是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】，当时，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减；∴在区间上的最大值为．故选：B．
二、多选题
2．已知函数，则（       ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C． D．的极小值大于0
【解析】因为， 故
，即，
故关于对称.故可设，即，为偶函数，则，画出与，考虑时的情况，易得两图象交点为与，当时，在上方，故，
当时，在下，故.故当时，单调递增，
当时，单调递减.
又，故为的图象往左平移个单位，故当时，单调递增，当时，单调递减.又关于对称，故当时，单调递增，当时，单调递减.故A正确，B错误；
又最大值，故C正确；
又极小值，故D正确
故选：ACD
三、填空题
3．函数的最大值为________．
【解析】，
所以在递增，在递减，
所以当时，取得最大值为.
4．函数在区间上的最小值为__________.
【解析】由，
得，当且仅当时取等号，即取等号，
因为，所以函数在区间上单调递增，
所以当时，函数取得最小值0
5．，的最小值为___________．
【解析】令，则，
当时，单调增，，
当时，令，，
时，递减，时，递增，∴，
综上：
6．已知