人教高中数学专题6-3 数列求和(解析版）.docx

专题6-3数列求和
目录
1
题型一：倒序相加法 1
（1）求证：点P的纵坐标是定值； 3
（2）Sm＝a1＋a2＋a3＋…＋am 4
题型二：分组求和法 6
(2)3332. 7
(2)6 9
题型三：裂项相消法 11
(3)证明见解析 14
题型四：错位相减法 21
(2)证明见解析 22
题型五：奇偶项分类讨论 28
题型六：插入新数列求和 37
(2)142 39
44
题型一：倒序相加法
【典例分析】
例题1．（2021·江苏·高二专题练****设函数，设，．
（1）求数列的通项公式．
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）；
时，，
，
相加得，
所以，又，
所以对一切正整数，有；
例题2．（2021·全国·高二课时练****设奇函数对任意都有
求和的值；
数列满足：，数列是等差数列吗？请给予证明；
【答案】解：（1），；（2）是等差数列.
【详解】解：（1）∵，且f（x）是奇函数
∴
∴，故
因为，所以．
令，得，即．
（2）令
又
两式相加．
所以，
故，
又．故数列{an}是等差数列．
【提分秘籍】
倒序相加法，即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练****已知f(x)＝ (x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，且线段P1P2的中点P的横坐标是.
（1）求证：点P的纵坐标是定值；
（2）若数列{an}的通项公式是an＝，求数列{an}的前m项和Sm.
【答案】（1）证明见解析；（2）Sm＝
【详解】（1）证明：∵P1P2的中点P的横坐标为，
∴＝，∴x1＋x2＝1.
∵P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，
∴y1＝，y2＝，
∴y1＋y2＝＋
＝
＝
＝＝＝，
∴点P的纵坐标为＝.
∴点P的纵坐标是定值.
（2）Sm＝a1＋a2＋a3＋…＋am
＝
令
由（1）知＋＝.(k＝1，2，3，…，m－1)
∴倒序相加得∴2S＝ (m－1)，∴S＝ (m－1).
又f（1）＝＝，
∴Sm＝S＋f（1）＝ (m－1)＋＝.
2．（2021·全国·高三专题练****已知数列的前项和，函数对一切实数总有，数列满足分别求数列、的通项公式.
【答案】；
【详解】当
当
时满足上式，故 ；
∵=1∴    
∵      ①
∴   ②
∴①②，得
3．（2021·江苏·高二专题练****设函数，设，．
（1）计算的值．
（2）求数列的通项公式．
【答案】（1）2；（2）；（3）．
【详解】（1）.
（2）由题知，当时，，
又，两式相加得
，
所以.
又不符合，
所以.
题型二：分组求和法
【典例分析】
例题1．（2022·新疆和静高级中学高二阶段练****1）已知等差数列满足，，数列满足，.求，的通项公式；
（2）在数列中，，，
①求证：是等比数列；
②求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）①证明间解析；②
【详解】解：（1）设等差数列的公差为，因为，，
则，解得，则；
又数列满足，
所以，
累加得：
故，
综上：，；
（2）①在数列中，，，
所以，
则数列是以为首项，为公比的等比数列；
②由①得，所以，则
所以
.
例题2．（2022·上海市甘泉外国语中学高一期末）在等差数列中，，前12项的和.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列为以1为首项，3为公比的等比数列，求数列前8项的和.
【答案】(1)；
(2)3332.
【详解】（1）解：设公差为，因为，前12项的和，
所以，解得，
所以.
（2）解：由题意得，所以，
所以数列前8项的和为
=.
例题3．（2022·山西运城·高二阶段练****已知数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，①
∴．②
①-②得，即
又，，∴，∴，
∴是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴．
（2）由（1）得，，
∴
．
【提分秘籍】
1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法.
【变式演练】
1．（2022·