人教高中数学专题07 数列求和-错位相减、裂项相消(解析版).docx

专题07 数列求和-错位相减、裂项相消
◆错位相减法
错位相减法是求解由等差数列和等比数列对应项之积组成的数列(即)的前项和的方法.这种方法运算量较大,要重视解题过程的训练.在讲等比数列的时候, 我们推导过等比数列的求和公式,其过程正是利用错位相减的原理, 等比数列的通项其实可以看成等差数列通项与等比数列通项的积.
公式秒杀:
(错位相减都可化简为这种形式,对于求解参数与,可以采用将前1项和与前2项和代入式中,建立二元一次方程求解.此方法可以快速求解出结果或者作为检验对错的依据.)
【经典例题1】设数列的前n项和为，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)； (2).
【解析】
(1)因为．
所以，解得．
当时，，
所以，所以，即．
因为也满足上式，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以．
(2)由（1）知，所以，
所以…①
…②
①-②得
，所以．
【经典例题2】已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，且，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)， (2)
【解析】
(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由题意得：，解得：，
所以，
由得：，所以，
所以
(2)，
则①，
②，
两式相减得：
，
所以
【经典例题3】已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)设等比数列的公比为，当时，，所以，，无解．
当时，，所以解得，或，（舍）．
所以．
(2)．所以①，则②，
①－②得，．
所以．
【练****1】已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
.
(2)由（1）得：；
，，
，
.
【练****2】已知数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)令得，∴，当时，，则，
整理得，∴，∴数列是首项为1，公比为2的等比数列，∴；
(2)由（1）得，则，，
两式相减得，化简得．
【练****3】已知数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)当时，，解得．
当时，，
整理得，
所以是以2为首项，4为公比的等比数列，
故．
(2)由（1）可知，，
则，
，
则
．
故．
【练****4】已知数列满足，（）.
(1)求证数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】
(1)由已知可得，即，即，是等差数列.
(2)由（1）知，，，
相减得，
◆裂项相消法
把数列的通项拆成相邻两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.在消项时要注意前面保留第几项,最后也要保留相对应的倒数几项.例如消项时保留第一项和第3项,相应的也要保留最后一项和倒数第三项.
常见的裂项形式:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) ;
(7) ;
(8)
(9)
(10) .
(11)
(12)
【经典例题1】已知正项数列中，，，则数列的前项和为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为且，所以，数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，，
因为数列为正项数列，则，
则，所以，数列的前项和为.
故选：C.
【经典例题2】数列的通项公式为，该数列的前8项和为__________．
【答案】
【解析】
因为，
所以．
故答案为：．
【经典例题3】已知数列的前项和为，若，则数列的前项和为________．
【答案】
【解析】
当时，，
当时，，
且当时，，故数列的通项公式为，
，
则数列的前项和为：
.
故答案为：
【练****1】数列的前2022项和为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：
记的前项和为，
则
；
故选：B
【练****2】数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的，总有，，成等差数列，又记，数列的前项和______．
【