人教高中数学专题08 函数与方程及常见的函数模型(解析版).docx

专题08 函数与方程及常见的函数模型
【考纲要求】
1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．
2、根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.
3、了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
4、了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的应用.
【思维导图】
【考点总结】
一、函数与方程
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 的图象
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
两个
一个
零个
【常用结论】
有关函数零点的三个结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
二、函数模型及其应用
1．几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
2.三种函数模型性质比较
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的单调性
增函数
增函数
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x值增大，图象与y轴接***行
随x值增大，图象与x轴接***行
随n值变化而不同
【常用结论】
1．“对勾”函数
形如f(x)＝x＋(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
(1)该函数在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减．
(2)当x>0时，x＝时取最小值2，
当x<0时，x＝－时取最大值－2.
2．解决函数应用问题应注意的3个易误点
(1)解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”)，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错．
(2)解应用题建模后一定要注意定义域．
(3)解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．
【题型汇编】
题型一：函数与方程
题型二：常见的函数模型：一次与二次型
题型三：常见的函数模型：幂指对型
题型四：常见的函数模型应用实例
【题型讲解】
题型一：函数与方程
一、单选题
1．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由得出是函数的一个零点，再由有两个不同的零点，得出a的取值范围.
【详解】
，则是函数的一个零点
由，解得
要使得有两个不同的零点，则
故选：A
2．（2022·山东烟台·三模）已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
作出函数的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用数形结合进行求解即可．
【详解】
解：作出函数的图象如图：
依题意方程有且仅有三个实数解，即与有且仅有三个交点，
因为必过，且，
若时，方程不可能有三个实数解，则必有，
当直线与在时相切时，
设切点坐标为，则，即，
则切线方程为，
即，
切线方程为，
且，则，所以，
即当时与在上有且仅有