人教高中数学专题08 极值点偏移问题（讲）【解析版】.docx

第一篇 热点、难点突破篇
专题08 极值点偏移问题（讲）
真题体验 感悟高考
1．（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
2.（2022·全国·高考真题（理））已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
【答案】(1)
(2)证明见的解析
【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；
（2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证.
【详解】（1）[方法一]：常规求导
的定义域为，则
令,得
当单调递减
当单调递增，
若,则,即
所以的取值范围为
[方法二]：同构处理
由得：
令，则即
令，则
故在区间上是增函数
故，即
所以的取值范围为
（2）[方法一]：构造函数
由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设
要证,即证
因为,即证
又因为,故只需证
即证
即证
下面证明时，
设，
则
设
所以,而
所以,所以
所以在单调递增
即,所以
令
所以在单调递减
即,所以；
综上, ,所以.
[方法二]：对数平均不等式
由题意得：
令，则，
所以在上单调递增，故只有1个解
又因为有两个零点，故
两边取对数得：，即
又因为，故，即
下证
因为
不妨设，则只需证
构造，则
故在上单调递减
故，即得证
【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式，
这个函数经常出现，需要掌握.
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
1.高考对导数的考查要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
2.对于某些涉及函数零点的不等式证明问题，有时可以根据极值点的情况，采取特定处理方式，老师们称为“极值点偏移问题”.所谓极值点偏移是指：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏．
（二）本专题考向展示

考点突破 典例分析
考向一 结论x1＋x2>2x0型不等式证明问题
【核心知识】
对称化构造法：对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)．
【典例分析】
典例1.【多选题】（2021·江苏·淮阴中学高三阶段练****已知关于的方程有两个不等的正根，且，则下列说法正确的有（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据题意构造函数，研究其函数图像得，可判断A；再构造函数，根据极值点偏移问题的方法得判断B；进而得判断C；根据等价得判断D.
【详解】解：对于A选项，根据题意，方程有两个不等的正根，且，
故令，则，
所以当时，，函数为单调递减函数，当时，，函数为单调递增函数，
所以函数有极小值，
因为趋近于，趋近于，趋近于，趋近于，
所以方程有两个不等的正根等价于，且故A选项正确；
对于B选项，令，
则，
所以在上单调递减，
所以，，
因为，所以，
因为时，函数为单调递增函数，
所以，即，故B选项正确；
对于C选项，因为，所以，
所以，故C选项错误；