人教高中数学专题08 极值点偏移问题（练）【解析版】.docx

第一篇 热点、难点突破篇
专题08 极值点偏移问题（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2021·江西·鹰潭一中高三阶段练****文））关于函数，下列说法正确的是（    ）
A．是的极大值点
B．函数有2个零点
C．存在正整数k，使得恒成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
【答案】D
【分析】对A，求导得到单调区间即可判断；
对B，对函数求导得出单调区间即可进一步得到结果；
对C，分离参数，通过的单调性和函数变化趋势即可判断；
对D，根据函数f(x)的单调性，将自变量比较大小转化为函数值比较大小，用极值点偏移的方法得到结论.
【详解】对A，，函数在单减，在单增，
是的极小值点，A错误；
对B，，函数在单减，至多一个零点，B错误；
对C， ，令，则，
设，则，函数在单增，在单减，
所以，∴，
则函数在单减，无最小值，且当时，，C错误；
对D，不妨设，易知，
，且，
因为函数在单增，则，
即证：，记，
所以，所以在单减，所以，
即，所以，D正确.
故选：D.
【点睛】本题为函数的综合题，不论分参也好还是极值点偏移也好，还是零点问题、最值问题，最终都要对函数的单调性进行讨论，进而得到答案；需要注意的是，导数综合题一定要结合函数的图象辅助解决，平常注意对导数的题目进行归类，总结做法.
2．（2021·浙江·镇海中学高三开学考试）已知函数，对于正实数a，若关于t的方程恰有三个不同的正实数根，则a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】研究的图像可知，若，令，则 ，且，可以推出，或，通过对数不等式写出关于的不等式，即可求出的范围
【详解】因为，，令得：；令得：，所以在区间单调递增，在单调递减，且时，恒成立，的图像如下：
令，则 ，且
①当时，，成立，所以是方程的一个实数根
②当时，由得：，令
则： ，两式相减得： ，两式相加得：
所以：，由对数均值不等式得：
所以：，且，所以，，即：
所以
故选：D
【点睛】题目考察到了极值点偏移的思想，用对数均值不等式解决，完整的对数均值不等式为：，可用两边同除，令整体换元的思想来构造函数，证明不等式成立
二、多选题
3．（2021·河北·高三阶段练****已知函数，则下面结论成立的是（    ）
A．当时，函数有两个实数根
B．函数只有一个实数根，则
C．若函数有两个实数根，，则
D．若函数有两个实数根，，则
【答案】AC
【分析】令参变分离可得，令，利用导数说明其单调性，即可得到函数的函数图象，从而判断A、B，若函数有两个实数根，，则，即可得到，再令，，利用导数研究函数的单调性，即可判断C、D；
【详解】解：根据题意，令则，令，则，所以当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，画出函数图象如下：
函数的最大值在处取得，最大值为，所以选项A正确，当或时函数只有一个实数根，故选项B不正确，
若函数有两个实数根，，则，所以，令，，对函数求导可得，，令，则恒成立，所以函数单调递增，又，所以，所以在时单调递增，的函数图象如下所示：
可得，所以选项C正确，选项D不正确．
故选：AC
4．（2021·全国·高二专题练****若直线与曲线相交于不同两点，，曲线在A，点处切线交于点，则（    ）
A． B．
C． D．存在，使得
【答案】ABC
【分析】对于A：求出过原点的切线的斜率为，根据直线与曲线有两个不同的交点，可得出和范围；
对于B：由已知得，，不妨设，则，分别求出在点A，点B处的切线方程，由两切线方程求得交点的横坐标，可得结论；
对于C：要证，即证，即证，因为，所以需证.构造函数，，求导，分析导函数的正负，得出所构造的函数的单调性和最值，可得结论；
对于D：设直线AM交轴于C，直线BM交轴于点D，作轴于点E．若，则，即，根据正切函数的差角公式和切线的斜率得，
【详解】对于A：当时，直线与曲线没有两个不同交点，所以，如图1所示，
当直线与曲线相切时，设切点为，则，
所以切线方程为：，代入点解得，此时，所以直线与曲线相切，
所以当时直线与曲线有两个不同的交点，
当时，直线与曲线没有交点，故A正确；
对于B：由已知得，，不妨设，则，
又在点A处的切线方程为：，在点B处的切线方程为，
两式相减得，将，代入得，
因为，所以，即，故B正确；
对于C：要证，即证，即证，因为，所以需证.
令，则，令，则点A、B是与的两个交点，令，
所以，令，则，所以当时，，单调递减，
而，，所以 ，所以时，，所以单调递减，所以，
即，又，所以，
而，所以当时，，单