人教高中数学专题09 导数的概念与运算(解析版).docx

专题09 导数的概念与运算
【考纲要求】
1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义．
2．能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝，y＝x2的导数．
3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.
一、导数的概念和几何意义
【思维导图】
【考点总结】
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝．
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．
二、导数的计算
【思维导图】
【考点总结】
1．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a
(a>0且a≠1)
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
(x>0，a>0且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x (x>0)
f′(x)＝
2.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
3．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【常用结论】
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．
3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
【题型汇编】
题型一：导数的概念和几何意义
题型二：导数的运算
【题型讲解】
题型一：导数的概念和几何意义
一、单选题
1．（2022·贵州黔东南·一模（理））一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（       ）
A．5米/秒 B．8米/秒
C．14米/秒 D．16米/秒
【答案】C
【解析】
【分析】
求导得到，即得解.
【详解】
解：由题得，
当时，，
故当时，该质点的瞬时速度为14米/秒．
故选：C
2．（2022·贵州黔东南·一模（文））一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，，则当时，该质点的瞬时速度为（       ）
A．米/秒 B．3米/秒 C．4米/秒 D．5米/秒
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出导数，再代入计算即可.
【详解】
，当时，，故当时，该质点的瞬时速度为3米/秒.
故选：B.
3．（2022·江西上饶·一模（理））设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（       ）
A．2 B．-1 C．1 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数的定义及几何意义进行求解.
【详解】
由导数的几何意义，点处的切线斜率为，
因为时，，
所以，
所以在点处的切线斜率为，
故选：D.
4．（2022·安徽省舒城中学三模（文））以下曲线与直线相切的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直线的斜率为，且经过点，利用导数的几何意义分别判断是否为选项中曲线的切线即可.
【详解】
直线的斜率为，且经过点，
选项A. 点在曲线上，但曲线在点处的切线的斜率不存在,故不正确.
选项B. 由，则，设切点为，则，则
所以切点为，显然点不再在直线上，故不正确.
选项C，曲线过点，又
当时，，所以曲线在点处的切线方程为：
所以曲线与直线相切，故正确.
选项D. 由，则，设切点为，则，则
所以切点为，显然点不在直线上，故不正确.
故选：C
5．（2022·山东烟台·三模）已知函数，若方程有且仅有