人教高中数学专题16 立体几何线面位置关系及空间角的计算（练）【解析版】.docx

第一篇 热点、难点突破篇
专题16 立体几何线面位置关系及空间角的计算（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2023·四川攀枝花·统考二模）如图，正方体中，P是的中点，给出下列结论：
①；②平面
③；④平面
其中正确的结论个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对四个结论进行分析，从而确定正确答案.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为，
则,，
不存在实数使得，所以①错误.
，
设平面的法向量为，
则，令，得,故可设，
，所以，
由于平面，所以平面，②正确.
，所以，③正确.
，
，所以与不垂直，
平面，所以与平面不垂直，所以④错误.
故正确的个数为个.
故选：B
2．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练****如图，在正方体中，点是线段上的动点，则下列说法正确的是（   ）
A．当点移动至中点时，直线与平面所成角最大且为
B．无论点在上怎么移动，都有
C．当点移动至中点时，才有与相交于一点，记为点，且
D．无论点在上怎么移动，异面直线与所成角可能是
【答案】B
【分析】对于A，利用四面体的等体积法求解直线与平面所成角的正弦值，从而判断正误；对于B，证明正方体的体对角线平面，根据平面，即可判断正误；对于C，根据四点共面，利用梯形几何性质求解，即可判断正误；对于D，根据动点的位置，求解异面直线与
所成角的正切值取值范围来判断正误.
【详解】解：对于A，设正方体的棱长为1，如图，连接

在正方体中，面对角线，
故四面体为正四面体，所以，，
则点到平面的距离为，
又为正三角形，则当点为的中点时，线段的长度最短，且为，
此时直线与平面所成角的正弦值最大，且为，选项A错误；
对于B，如图，连接
在正方体中，四边形为正方形，所以，
又平面，平面，所以，又平面，
所以平面，且平面，所以，同理可得，
又平面，所以平面，又平面，所以总有，选项B正确；
对于C，如图，连接，
当F为的中点时，，此时四点共面，为梯形的对角线，故其交于一点，且，选项C错误；
对于D，因为，所以即异面直线与所成的角，该角的正切值为，
易知，所以，不在该范围内，
故无论点F在上怎么移动，异面直线与所成的角都不可能是，选项D错误.
故选：B.
二、多选题
3．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）在正方体中，点在线段上，且，动点在线段上（含端点），则下列说法正确的有（    ）
A．三棱锥的体积为定值
B．若直线平面，则
C．不存在点使平面平面
D．存在点使直线与平面所成角为
【答案】AB
【分析】选项A连接，设正方体的棱长为，说明平面，可说明点到平面的高度为定值，为定值，利用等体积法即可说明，选项B建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可，选项C，当处于处时即可判断，选项D借助选项B中的相关结论，假设存在点使直线与平面所成角为，根据假设条件，表示出线面角，列出等式，推出结论即可.
【详解】选项A，连接，如图所示：设正方体的棱长为，
因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
即平面
所以直线上的所有点到平面的距离都相等都等于正方体的棱长为定值，
所以点到平面的高度为，
由为定值，
所以为定值，
故A正确，
以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，设正方体的棱长为1，
因为点在线段上，且，所以在线段的中点，
则，
所以，
设平面的法向量为，则
，
令，则，
所以平面的法向量为，
由，设，
所以，又，
所以，
所以，
所以，所以
直线平面，所以 ，
即，
解得，，故B选项正确，
当处于点时，平面即为平面，
而在正方体中平面平面，
故存在点，使得平面平面，
故C错误，
由B选项知，由平面,
所以为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
由线面角的性质有：
，
假设存在点使直线与平面所成角为，
则，
即，
因为，无实数解，
所以不存在点使直线与平面所成角为，
故D选项不正确，
故选：AB.
4．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知在正四面体中，、、、分别是棱，，，的中点，则（    ）
A．平面 B．
C．平面 D．、、、四点共面
【答案】ABD
【分析】把正四面体放到正方体里，对于A项根据线面平行的判定定理证明
对于B项，从正方体的角度上看易得
对于D项，证明四边形是平行四边形可验证
对于C项，反证法证明，矛盾点