人教高中数学专题16 一元二次不等式和基本不等式问题（分层训练）（解析版）.docx

答案第1页，共30页
专题16一元二次不等式和基本不等式问题
【练基础】
一、单选题
1．（2023·山西忻州·统考模拟预测）已知，则的最小值是（    ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】利用基本不等式性质求解即可.
【详解】因为，所以
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值为.
故选：D
2．（2023·山东潍坊·统考一模）“”是“，成立”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由不等式恒成立，可求得，即可得出答案.
【详解】因为，成立，则，即.
所以，“”是“，成立”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案.
【详解】解：因为命题“，”为真命题，
所以，命题“，”为真命题，
答案第1页，共30页
所以，时，，
因为，，
所以，当时，，当且仅当时取得等号.
所以，时，，即实数的取值范围是
故选：C
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知实数 满足， 且， 若不等式恒成立， 则实数的最大值为 （    ）
A．9 B．12 C．16 D．25
【答案】D
【分析】由得到，从而利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，从而得到.
【详解】因为，所以，
，
当且仅当， 即时，等号成立．
因不等式恒成立，只需，
因此，故实数的最大值为25．
故选：D
5．（2023·辽宁·校联考模拟预测）古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第n日布施了子安贝（其中，），数列的前n项和为．若关于n的不等式恒成立，则实数t的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】是等比数列，求出与，代入不等式中，结合基本不等式实数t的取值范围．
【详解】由题意可知，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故，
答案第1页，共30页
所以．
由，得，
整理得对任意，且恒成立，
又，当且仅当，即n＝2时等号成立，
所以，即实数t的取值范围是
故选：B．
6．（2023秋·广西河池·高三统考期末）如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点，，，则的最小值为（    ）
A． B．1 C． D．4
【答案】B
【分析】由可得，根据三点共线向量性质可得，再结合均值不等式即可求出结果．
【详解】由于M为线段BC的中点，则
又，所以，又，
所以，则
因为三点共线，则，化得
由
当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为1
故选：B
答案第1页，共30页
7．（2022秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知，，是与的等比中项，则的最小值为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据等比中项定义可求得，将所求式子化为，利用基本不等式可求得最小值.
【详解】由等比中项定义知：，，
（当且仅当，即，时取等号），
即的最小值为.
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练****已知函数，若存在使得，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】，易得与的图象关于直线对称，由大小关系易判断，再将全部代换为含a的式子得，令，利用换元法和对勾函数性质进而得解.
【详解】∵，∴与的图象关于直线对称，作出的大致图象如图所示，
答案第1页，共30页
易知，由，即，，得，
∵，∴，得，
∴.
设， 则，.
，当且仅当取到等号，
故当时，令，单减，，
故.
故选：A
9．（2022·广西·校联考模拟预测）双曲线的左右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则当取到最小值时，双曲线离心率为（　　）
A． B．2 C．3 D．6
【答案】B
【分析】由题意利用均值定理可得，再利用双曲线的几何性质求解即可.
【详解】设，
则，，所以，
将曲线方程代入得，
又由均值定理得，当且仅当，即时等号成立，
答案第1页，共30页
所以离心率，
故选：B
二、多选题
10．（2023·安徽宿州·统考一模）已知，且，则下列不等关