人教高中数学专题16 圆锥曲线中的双曲线与抛物线问题（解析版）.docx

专题16 圆锥曲线中的双曲线与抛物线问题
1、【2022年全国乙卷】设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若AF=BF，则AB=（       ）
A．2 B．22 C．3 D．32
【答案】B
【解析】由题意得，F1,0，则AF=BF=2，
即点A到准线x=−1的距离为2，所以点A的横坐标为−1+2=1，
不妨设点A在x轴上方，代入得，A1,2，
所以AB=3−12+0−22=22.
故选：B
2、【2022年全国乙卷】双曲线C的两个焦点为F1,F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C的两支交于M，N两点，且cos∠F1NF2=35，则C的离心率为（       ）
A．52 B．32 C．132 D．172
【答案】C
【解析】解：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F1作圆D的切线切点为G，
所以OG⊥NF1，因为cos∠F1NF2=35>0，所以N在双曲线的右支，
所以OG=a，OF1=c，GF1=b，设∠F1NF2=α，∠F2F1N=β，
由cos∠F1NF2=35，即cosα=35，则sinα=45，sinβ=ac，cosβ=bc，
在△F2F1N中，sin∠F1F2N=sinπ−α−β=sinα+β
=sinαcosβ+cosαsinβ=45×bc+35×ac=3a+4b5c，
由正弦定理得2csinα=NF2sinβ=NF1sin∠F1F2N=5c2，
所以NF1=5c2sin∠F1F2N=5c2×3a+4b5c=3a+4b2，NF2=5c2sinβ=5c2×ac=5a2
又NF1−NF2=3a+4b2−5a2=4b−2a2=2a，
所以2b=3a，即ba=32，
所以双曲线的离心率e=ca=1+b2a2=132
故选：C
3、【2021年甲卷文科】点到双曲线的一条渐近线的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.
故选：A.
4、【2022年新高考1卷】（多选题）已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，过点B(0,−1)的直线交C于P，Q两点，则（       ）
A．C的准线为y=−1 B．直线AB与C相切
C．|OP|⋅|OQ|>|OA2 D．|BP|⋅|BQ|>|BA|2
【答案】BCD
【解析】将点A的代入抛物线方程得1=2p，所以抛物线方程为x2=y，故准线方程为y=−14，A错误；
kAB=1−(−1)1−0=2，所以直线AB的方程为y=2x−1，
联立y=2x−1x2=y，可得x2−2x+1=0，解得x=1，故B正确；
设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，
所以，直线l的斜率存在，设其方程为y=kx−1，P(x1,y1),Q(x2,y2)，
联立y=kx−1x2=y，得x2−kx+1=0，
所以Δ=k2−4>0x1+x2=kx1x2=1，所以k>2或k<−2，y1y2=(x1x2)2=1，
又|OP|=x12+y12=y1+y12，|OQ|=x22+y22=y2+y22，
所以|OP|⋅|OQ|=y1y2(1+y1)(1+y2)=kx1×kx2=|k|>2=|OA|2，故C正确；
因为|BP|=1+k2|x1|，|BQ|=1+k2|x2|，
所以|BP|⋅|BQ|=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5，而|BA|2=5，故D正确.
故选：BCD
5、【2022年新高考2卷】（多选题）已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则（       ）
A．直线AB的斜率为26 B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF| D．∠OAM+∠OBM<180°
【答案】ACD
【解析】
对于A，易得F(p2,0)，由AF=AM可得点A在FM的垂直平分线上，则A点横坐标为p2+p2=3p4，
代入抛物线可得y2=2p⋅3p4=32p2，则A(3p4,6p2)，则直线AB的斜率为6p23p4−p2=26，A正确；
对于B，由斜率为26可得直线AB的方程为x=12 6y+p2，联立抛物线方程得y2−16py−p2=0，
设B(x1,y1)，则62p+y1=66p，则y1=−6p3，代入抛物线得−6p32=2p⋅x1，解得x1=p3，则B(p3,−6p3)，
则OB=p32+−6p32=7p3≠OF=p2，B错误；
对于C，由抛物线定义知：AB=3p4+p3+p=25