人教高中数学专题17 等比数列及其前n项和(解析版).docx

专题17 等比数列及其前n项和
【考纲要求】
1、通过实例，理解等比数列的概念并会简单应用.
2、掌握等比中项的概念并会应用，掌握等比数列的通项公式，了解其推导过程．
3、掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
4、会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．
【思维导图】
一、等比数列的概念
【考点总结】
1、等比数列的概念
1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．数学表达式
在数列{an}中，若＝q(n∈N*)，q为非零常数，则数列{an}是等比数列．
2、等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a，b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±.
[化解疑难]
1．G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．
G＝±，即等比中项有两个，且互为相反数．
2．当G2＝ab时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝5×0，但0,0,5不是等比数列.
3、等比数列的通项公式
等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝a1qn－1.
[化解疑难]
1．在已知首项a1和公比q的前提下，利用通项公式an＝a1qn－1可求出等比数列中的任一项；
2．等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1，可改写为an＝·qn.当q＞0且q≠1时，这是指数型函数.
二、等比数列的前n项和
【考点总结】
1、等比数列的前n项和公式的推导
设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，前n项和Sn可用下面的“错位相减法”求得．
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. ①
则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn. ②
由①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn.
当q≠1时，Sn＝.
当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝na1.
结合通项公式可得：
等比数列前n项和公式：
Sn＝
2、等比数列的前n项和公式
1．等比数列前n项和公式
(1)公式：Sn＝
(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．
2．等比数列前n项和公式的使用
公比q≠1时，公式Sn＝适用于已知a1，q和项数n，而公式Sn＝更适用于已知a1，q和末项an，使用时依据条件灵活选用．
【题型汇编】
题型一：等比数列的定义
题型二：等比数列的通项公式
题型三：等比数列的性质
题型四：等比数列的前n项和
【题型讲解】
题型一：等比数列的定义
一、单选题
1．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（       ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将题中两等式作差可得出，整理得出，由此可计算出的值.
【详解】
将等式与作差得，，
因此，该等比数列的公比，
故选：A.
2．（2022·江西南昌·一模（理））已知数列的前项和为，，，则（       ）
A．12 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
取，可知为等比数列，然后可解.
【详解】
因为，取，则有，所以是首项、公比都为2的等比数列，所以.
故选：D
3．（2022·黑龙江·大庆中学二模（文））若数列对任意正整数n都有，则（       ）
A．17 B．18 C．34 D．84
【答案】B
【解析】
【分析】
根据递推公式，可求出数列的通项公式，从而可求出的值.
【详解】
因为，
所以时，，
两式相减，得，即，
又时，得也适合，
所以时，，
所以．
故选：B．
4．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））已知数列满足为其前n项和.若，则（       ）
A．20 B．30 C．31 D．62
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用等比数列的定义、通项公式得到公比和首项，再利用等比数列的求和公式进行求解.
【详解】
因为，所以为等比数列，且，
又，所以，则.
故选：C.
5．（2022·重庆·一模）已知为数列的前项和，且，则下列式子正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知得， ，两式作差得，再求得 ，，得数列从第2项起构成以为公比的等比数列，求得时，，，代入判断可得选项.
【详解】
解：因为，所以，两式作差得，
即，所以，
又，，解得，，
所以数列从第2项起