人教高中数学专题17 空间几何体的结构和内切 外切球问题 分层训练 （解析版）.docx

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专题17 空间几何体的结构和内切 外切球问题
【练基础】
单选题
1．（2023春·四川成都·高三校联考期末）已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求得圆锥的底面半径，进而求得圆锥的表面积.
【详解】依题意，圆锥的母线长为3，轴截面为等腰直角三角形，
所以圆锥的底面半径为，
所以圆锥的表面积为.
故选：B
2．（2023·云南红河·统考一模）如图所示是一块边长为10cm的正方形铝片，其中阴影部分由四个全等的等腰梯形和一个正方形组成，将阴影部分裁剪下来，并将其拼接成一个无上盖的容器（铝片厚度不计），则该容器的容积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出正四棱台，作出辅助线，得到各边长，求出四棱台的高，从而利用台体体积公式求出体积.
【详解】由题知，该容器的容积就是正四棱台的体积，
如图，连接正四棱台上下底面的中心，，取上底面正方形一边中点，对应下底面正方形一边中点，连接，，，
则，故四点共面，
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过点作交于点，则四边形为矩形，
故，
因为该正四棱台上、下底面边长分别为2，6，等腰梯形的斜高为4，
所以，
故，
所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积，
所以该容器的容积是．
故选：B
3．（2023·陕西西安·统考一模）盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准备将棱长为的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，为节约成本，使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱长最小时，盲盒内剩余空间的体积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】棱长为8的正四面体放入正方体，使正方体面对角线长等于正四面体棱长，然后求出体积作答.
【详解】依题意，要使棱长为的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，且盲盒棱长最小，
则当且仅当正方体的面对角线长等于正四面体的棱长，即它们有相同的外接球，
如图，正四面体的棱长为8cm，该正四面体的所有棱均为正方体对应的面对角线，
所以该正方体棱长为，盲盒内剩余空间的体积为.
故选：C
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4．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练****如图所示是我国古代舂米用的一种青石制成的石臼，其外形是正四棱台，糙米(杂粮等)放在中间凿出的半球内，利用石锤等工具对糙米进行加工．已知该石臼上口宽和高都等于0.8m，下底边长与球的直径都等于0.6m，则该石臼的体积约为(参考数据：)（    ）
A．0.21 B．0.28 C．0.34 D．0.46
【答案】C
【分析】根据台体体积公式和球的体积公式求解.
【详解】正四棱台的体积为
，
半球的体积为，
所以该石白的体积约为，
故选:C.
5．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练****如图，已知四棱柱的体积为，四边形是平行四边形，点在平面内，且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出辅助线，找到两三棱锥的公共部分，结合三角形相似知识得到边长比，从而得到体积比，求出答案.
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【详解】先找两三棱锥的公共部分，由知：，故，
在上取点，使得，连接，
设，连接，
则三棱锥为三棱锥与三棱锥的公共部分，
∵∽，
，
点到平面的距离是点到平面的距离的，又，
.
故选：A.
6．（2023秋·天津南开·高三校考阶段练****如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设半球的半径为，连接交于点，连接，利用四棱锥的体积公式求出半径，再代入球的体积公式即可求解.
【详解】依题意，设半球的半径为，
连接交于点，连接，如图所示：
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则有，易得，
所以正四棱锥的体积为：
，
解得：，
所以半球的体积为：.
故选：C.
7．（2023·福建厦门·统考二模）西施壶是紫砂壶器众多款式中最经典的壶型之一，是一款非常实用的泡茶工具（如图1）．西施壶的壶身可近似看成一个球体截去上下两个相同的球缺的几何体．球缺的体积（R为球缺所在球的半径，h为球缺的高）．若一个西施壶的壶身高为8cm，壶口直径为6cm（如图2），则该壶壶身的容积约为（不考虑壶壁厚度，π取3.14）（    ）
A．494ml B．506ml C．509ml D．516ml
【答案】A
【分析】依题意作出几何体的轴截面图，即可求出对应线段的长，进而求出球的半径和球缺的高，再根据球