人教高中数学专题20 极值点偏移问题(解析版).docx

专题20 极值点偏移问题
1．极值点偏移的含义
若单峰函数f(x)的极值点为x0，则极值点的偏移问题的图示及函数值的大小关系如下表所示.
极值点x0
函数值的大小关系
图示
极值点不偏移
x0＝
f(x1)＝f(2x0－x2)
极值点偏移
左移
x0<
峰口向上：f(x1)< f(2x0－x2)
峰口向下：f(x1)> f(2x0－x2)
右移
x0>
峰口向上：f(x1)> f(2x0－x2)
峰口向下：f(x1)< f(2x0－x2)
2.函数极值点偏移问题的题型及解法
极值点偏移问题的题设一般有以下四种形式：
若函数f(x)在定义域上存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，
求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；
若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，
求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；
(3)若函数f(x)存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，令x0＝，求证：f′(x0)>0；
(4)若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，令x0＝，
求证：f′(x0)>0.
3.极值点偏移问题的一般解法
3.1对称化构造法
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点．
(2)构造函数，即对结论型，构造函数或；
(3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式．
(4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．
(5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．
(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．
3.2．差值代换法（韦达定理代换令.）
差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
3.3．比值代换法
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
3.4．对数均值不等式法
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时，等号成立．
3.5指数不等式法
在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系：
专项突破练
1．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：．
【解析】（1）∵，∴，令，得x＝1，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故函数的减区间为，增区间为；
（2）由（1）知，不妨设，构造函数，，
故，故在上单调递减，，∵，∴，又∵，∴，即，∵，∴，，又∵在上单调递增，∴，即，得证．
2．已知函数.
(1)若是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若有两个极值点，，证明：.
【解析】(1)函数的定义域为，，
若是增函数，即对任意恒成立，故恒成立，
设，则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当时，，由得，所以a的取值范围是.
(2)不妨设，因为，是的两个极值点，
所以，即，同理，
故，是函数的两个零点，即，
由（1）知，，故应有，且，
要证明，只需证，只需证
，
设，，
则，
所以在上单调递减，因为，所以，
即，，
又，，及在上单调递增，所以成立，即成立.
3．已知函数.
(1)求的极大值；
(2)设、是两个不相等的正数，且，证明：.
【解析】(1)因为的定义域为，，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，函数的极大值为.
(2)证明：因为，则，即，
由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，
因为、是两个不相等的正数，且满足，不妨设，
构造函数，则，
令，则.
当时，，则，此时函数单调递减，
当时，，则，此时函数单调递减，
又因为函数在上连续，故函数在上单调递减，
当时，，即，故函数在上为增函数，
故，所以，，
且，函数在上为减函数，故，则.
4．已知函数
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若，且，证明: .
【解析】（1）   当时，