人教高中数学专题20 立体几何综合大题必刷100题(解析版).docx

专题20 立体几何综合大题必刷100题
任务一:善良模式(基础)1-30题
1．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.
（1）求点到直线的距离；
（2）求直线到平面的距离.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，取，，根据空间向量点到直线距离公式，可得点点到直线的距离；
（2）易证平面，则点到平面的距离为直线到平面的距离，求出平面的一个法向量，再求出，根据点到面的距离公式，可得直线到平面的距离．
【详解】
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，， .
（1）取，，则.
所以，点到直线的距离为.
（2）因为，所以，所以平面.
所以点到平面的距离为直线到平面的距离.
设平面的法向量为，则
所以
所以
取，则.所以，是平面的一个法向量.
又因为，所以点到平面的距离为.
即直线到平面的距离为.
2．如图，正方形的边长为2，的中点分别为C，，正方形沿着折起形成三棱柱，三棱柱中，.
（1）证明:当时，求证：平面；
（2）当时，求二面角的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）
【分析】
（1）要证明线面垂直，转化为证明线线垂直，关键证明，；
（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量公式求二面角的余弦值.
【详解】
（1）当时，点是的中点，
因为，所以，又，
所以，所以，
因为，，所以平面，平面
所以，且，
所以平面；
（2）因为，，两两互相垂直，所以以点为原点，以，，作为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如下图，
平面，所以向量是平面的法向量，
，，，，，
设平面的法向量，
所以，即 ，令，， ，
所以平面的一个法向量，
，
所以二面角的余弦值是
3．如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱的长为5.
（1）求三棱柱的体积；
（2）设M是BC中点，求直线与平面ABC所成角的正切值.
【答案】（1）20；（2）.
【分析】
（1）根据棱柱的体积公式进行求解即可；
（2）根据线面角的定义，结合锐角三角函数定义进行求解即可.
【详解】
（1）直三棱柱的底面为直角三角形，
两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱的长为5.
三棱柱的体积：
.
（2）连接AM，
直三棱柱的底面为直角三角形，
两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱的长为5，M是BC中点，
底面ABC，，
是直线与平面ABC所成角，
，
直线与平面ABC所成角的正切值为.
4．如图，在三棱锥中，底面ABC，点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，，.
（1）求证：平面BDE；
（2）求二面角的正弦值；
（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）4
【分析】
（1）根据三角形中位线定理，结合面面平行的判定定理和性质进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（3）利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】
（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF，
为AD中点，
，
平面BDE，平面BDE，
平面BDE.
为BC中点，
，
又D、E分别为AP、PC的中点，
，则.
平面BDE，平面BDE，
平面BDE.
又，平面MFN，平面MFN，
平面平面BDE，又平面MFN，
则平面BDE；
（2）底面ABC，.
以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.
，，
0，，0，，4，，0，，2，，2，，
则，，
设平面MEN的一个法向量为，
由，得
取，得.
由图可得平面CME的一个法向量为.
.
由图可知二面角的平面角为锐角，
二面角的余弦值为，则正弦值为；
（3）设，则0，，，.
直线NH与直线BE所成角的余弦值为，
.
解得：.
当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为4.
5．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2.
（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（2）设，OA、OB是底面半径，且，M为线段AB的中点，如图.求异面直线PM与OB所成的角的余弦值.
【答案】（1） ；（2）.
【分析】
（1）利用圆锥的体积公式进行求解即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间