人教高中数学专题20 椭圆 分层训练 （解析版）.docx

答案第1页，共37页
专题20 椭圆
【练基础】
单选题
1．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）设、为椭圆的两个焦点，M为C上一点．若为等腰三角形，则的内切圆半径为（    ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】讨论M点的位置，结合椭圆的几何性质求出的面积，利用（r为三角形内切圆半径，l为三角形周长），即可求得答案.
【详解】由题意知椭圆，则其长半轴，短半轴，焦距，
当M点位于椭圆的短轴端点时，不妨设为A点，
此时的面积为 ，
设内切圆半径为r,则,
即；
(三角形内切圆半径公式的推导：
)
答案第1页，共37页
当M点不在椭圆短轴端点时，根据椭圆的对称性，不妨假设在第一象限内，
此时,此时，由为等腰三角形，
可知,则，
的面积为，
则,即，
综合可得的内切圆半径为或，
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练****已知椭圆：的右焦点和上顶点分别为，且焦距等于4，的延长线交椭圆于点，，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得出直线的方程，联立方程组，利用韦达定理求出点的横坐标，再结合即可求出的值，进而求出椭圆的离心率.
【详解】由题意可知：，，则直线的方程为：，
设，将直线方程与椭圆方程联立，整理化简可得：
，则，
又因为，所以，
则有，解得：，所以，又，
所以椭圆的离心率为，
故选：.
3．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为，，在椭圆上存在一个点P，使得，设的内切圆半径为r，则r的值为（    ）
A． B． C． D．
答案第1页，共37页
【答案】D
【分析】在中，利用余弦定理求得，再由求解.
【详解】解：因为椭圆的离心率为，长轴长为4，
所以，
在中，由余弦定理得：，
，
解得 ，
所以 ，
，
解得，
故选：D
4．（2022·四川雅安·统考一模）已知椭圆C：的左焦点为，直线与C交于点M，N.若，，则椭圆C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由椭圆的对称性可知：四边形为平行四边形，结合椭圆的定义并在中利用余弦定理求出关于的值，进而可求出离心率.
【详解】设椭圆C的右焦点为，如图，连接，
因为为的中点，所以四边形为平行四边形，
所以，，由椭圆的定义可得：，
答案第1页，共37页
又因为，所以，
又因为，所以，
在中，由余弦定理可得：，
也即，因为，所以，所以椭圆的离心率，
故选：.
5．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为(-c，0)，(c，0)，若椭圆C上存在一点M使得的内切圆半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用的面积相等，得到，得到，消去b，整理化简求出离心率的取值范围.
【详解】的面积为.
因为的内切圆半径为，所以的面积可表示为.
所以，所以.
因为，所以.
两边平方得：，
而，所以，整理得：,
因为离心率，所以，解得：.
故选：A.
6．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则该椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
答案第1页，共37页
【分析】由题可得，然后利用离心率公式即得.
【详解】由题可得，
∴，即椭圆为，
∴.
故选：A.
7．（2023秋·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练****已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为．若，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由求出B点坐标，代入椭圆方程，可求得离心率.
【详解】左、右焦点分别为，，上顶点为，∴，设，则，
由，根据勾股定理，有，即
解得，即，
由，，，，三点共线，
∴，代入椭圆方程，有，化简得，
所以椭圆离心率为.
故选：B
8．（2022·湖南永州·统考一模）已知椭圆分别为其左､右焦点，过作直线轴交椭圆于两点，将椭圆所在的平面沿轴折成一个锐二面角，设其大小为，翻折后两点的对应点分别为，记
答案第1页，共37页
.若，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出，且，在中分别使用余弦定理得到，利用题干条件化简得到，求出，从而求出离心率.