人教高中数学专题21 空间向量与立体几何(解析版).docx

专题21 空间向量与立体几何
【考纲要求】
1、理解空间向量的概念、运算、基本定理，理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；
2、会用待定系数法求平面的法向量，能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系；
3、体会向量方法在研究几何问题中的作用，掌握利用向量法法求空间角的方法。
一、空间向量及其运算
【思维导图】
1、空间向量的有关概念
空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；
空间向量的表示：一种是用有向线段表示，叫作起点，叫作终点；
一种是用小写字母（印刷体）表示，也可以用（而手写体）表示．
向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或．
向量的夹角：过空间任意一点作向量的相等向量和，则叫作向量的夹角，记作，规定．如图：
零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行．
单位向量：长度为1的空间向量，即．
相等向量：方向相同且模相等的向量．
相反向量：方向相反但模相等的向量．
共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．
平行于记作，此时．=0或=p．
共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
要点诠释：
（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关． 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；
（2）当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
（3）对于任意一个非零向量，我们把叫作向量的单位向量，记作．与同向．
（4）当=0或p时，向量平行于，记作；当 =时，向量垂直，记作．
2、空间向量的基本运算
空间向量的基本运算：
运算类型
几何方法
运算性质
向
量
的
加
法
1平行四边形法则：
加法交换率：
加法结合率：
2三角形法则：
向
量
的
减
法
三角形法则：
向
量
的
乘
法
是一个向量，满足：
>0时，与同向；
<0时，与异向；
=0时， =0
∥
向
量
的
数
量
积
1．是一个数：；
2．，或
=0．
二、空间向量基本定理
【思维导图】
共线定理：两个空间向量、（≠），//的充要条件是存在唯一的实数，使．
共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的一对实数，使．
要点诠释：
（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线．
（2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面．
空间向量分解定理：
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使.
要点诠释：
（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；
（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量0．
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
三、空间向量的直角坐标运算
【思维导图】
空间向量的直角坐标运算
空间两点的距离公式
若，，则
①；
②；
③ 的中点坐标为．
空间向量运算的的坐标运算
设，，则
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ，；
⑥ ．
空间向量平行和垂直的条件
若，，则
①，，；
②．
要点诠释：
（1）空间任一点的坐标的确定：
过作面的垂线，垂足为，在面中，过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，则．如图：
（２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：
，其中θ的范围是．
（３）与任意空间向量平行或垂直．
四、空间向量的应用
【思维导图】
用向量方法讨论垂直与平行

图示
向量证明方法
线线平行
（//）
//
（分别为直线的方向向量）
线线垂直
（）
（分别为直线的方向向量）
线面平行
（//）
，即
（是直线的方向向量，是平面的法向量）．
线面垂直
（）
//
（是直线的方向向量，是平面的法向量）
面面平行
（//）
（分别是平面，的法向量）
面面垂直
（）
，即
（，分别是平面，的法向量）
用向量方法求角
图示
向量证明方法
异面直线所成的角
（，是直线上不同的两点，，是直线上不同的两点）
直