人教高中数学专题21 双曲线 分层训练（解析版）.docx

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专题21 双曲线
【练基础】
单选题
1．在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】由双曲线方程的特征计算得m的范围，再由集合的包含关系可得结果.
【详解】∵表示双曲线，
∴.
∴是表示双曲线的充要条件.
故选：C.
2．以双曲线的一个焦点为圆心，以为半径的圆，截该双曲线的一条渐近线所得的弦长为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的焦点到渐近线的距离为，结合垂径定理运算求解.
【详解】由双曲线可得，
∵双曲线的焦点到渐近线的距离，
故所得弦长.
故选：D.
3．两千多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用切割圆锥的方法研究圆锥曲线，他用平行于圆锥的轴的平面截取圆锥得到的曲线叫做“超曲线”，即双曲线的一支，已知圆锥PQ的轴截面为等边三角形，平面，平面截圆锥侧面所得曲线记为C，则曲线C所在双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，得到点的坐标，从而得到双曲线方程，然后结合离心率公式，即可得到结果.
【详解】如图，设平面，平面与圆锥侧面的交线为，过垂直于的母线与曲线交于，不妨延长
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至，使.
过垂直于的截面交曲线为，
设在平面内的投影为点，以为原点，投影为轴建立平面直角坐标系，易知点为双曲线顶点.设，则可求点坐标为，代入方程：，知，故双曲线离心率为，
故选:.
4．已知是离心率为的双曲线的右支上一点，则到直线的距离与到点的距离之和的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由双曲线的定义，将点到左焦点的距离转化为到右焦点的距离，再求右焦点到直线的距离，进而得出结果.
【详解】已知双曲线，可知，则，
所以，分别为的左、右焦点，则，即，
设到直线的距离为，到直线的距离为，且，则.
故选：A.
5．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，以为直径的圆与在第二象限交于点，且双曲线的一条渐近线垂直平分线段，则的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由题知，，进而得直线、的方程并联立得，再将其代入双曲线方程整理得
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，再求离心率即可.
【详解】解：由题设，渐近线，，
因为以为直径的圆与在第二象限交于点，
所以，
因为双曲线的一条渐近线垂直平分线段，
所以， ，，
所以，直线的方程为，直线的方程为，
所以，联立方程得，
所以，将代入整理得，即，
所以，的离心率为.
故选：D
6．已知是双曲线上不同的三点，且，直线AC，BC的斜率分别为，（），若的最小值为1，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．2
【答案】A
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【分析】根据向量共线可知两点关于原点对称，分别设出三点的坐标，利用点差法点差法表示出和，根据基本不等式求得取最小值时满足，计算即可求得离心率.
【详解】根据题意，由可得原点是的中点，所以两点关于原点对称；
不妨设，因为，所以，
易知，又因为A、B，C都在双曲线上，
所以，两式相减可得，即，
所以，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立；
所以，即，可得，即离心率.
故选：A.
7．已知为双曲线右支上的一点，双曲线的左、右顶点分别为，直线交双曲线的一条渐近线于点，直线的斜率分别为，，若以为直径的圆经过点，且，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】设点，得，以为直径的圆经过点，得，得．又，，得，，又，得即可解决.
【详解】设点，则，得  ①．
因为以为直径的圆经过点，
所以，所以，即．
由题意得，，所以，，
所以，又，
所以②．
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由①②得，
所以.
故选：B．
【点睛】关键点点睛：找到等价转化的桥梁，即根据直线斜率间的关系得到，并能想到将化为的形式，从而得到．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，一条渐近线为l，过点且与l平行的直线交双曲线C于点M，若，则双曲线C的离心率为（    ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】根据双曲线的对称性，不妨设一条渐近线l的方程为，
因此直线的倾斜角的正切值为，即，
所以有，
设，由双曲线定义可知：，
由余弦定理可知：，
故选：B
二、多选题
9．已知曲线，则下列说法正确的