人教高中数学专题35 导数中双变量与极值点偏移必刷100题(解析版).docx

专题35 导数中双变量与极值点偏移必刷100题
类型一:极值点偏移问题1-25题
1．（1）设，且，证明：；
（2）若函数，且m为非零实数，若存在，且，使得，证明 ：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）双变量问题转化为单变量问题，通过构造函数来进行证明；（2）通过构造函数证明，再结合第一问的结论证明
【详解】
证明：（1）不妨设，则，
等价于，
设，令，，
所以在上单调递减，，故，
设，令，，
所以在上单调递增，，故，
故．
（2）的定义域为，，
因为为非零实数，所以，
，
即，
令，，所以在上单调递减，
不妨设，，，，
由（1）得，所以，所以
2．已知函数有且仅有两个极值点，且．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：．
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）原问题等价于有两个零点，且，（i）当时，在上单调递减，至多有一个零点，不符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，
令，又，，由函数零点存在定理可得，即可求解；
（2）由题意，，，即，，两式相减得，令，则，，，，
要证：，即证：，只需证：，最后构造函数即可证明.
（1）
解：函数，，
因为函数有两个极值点，，
所以有两个零点，且，
令，，
（i）当时，，则在上单调递减，至多有一个零点，不符合题意；
（ii）当时，令，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以的最小值为，
令，解得，
又因为，，
所以由函数零点存在定理可得，在区间和上各有一个零点，符合题意，
所以的取值范围为；
（2）
证明：由（1）可知，，
所以.，
因为，是的两个零点，
所以，，即，，
两式相减得，令，则，，，
所以，，，
要证：，即证：，即证：，
只需证：，
令，，，
，
所以在上单调递增且，
所以，则在上单调递增且，
所以，从而得证．
3．已知函数（为自然对数的底数），为的导函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，若存在不相等的实数，，使得，证明：．
【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）先计算，再对求导得，分、、分别解不等式和即可得单调单增区间和单调递减区间；
（Ⅱ）计算的单调性和最小值，可判断，由可得，构造函数，计算，再构造函数求导利用单调性判断即可得，代入即可求证.
【详解】
（Ⅰ）由得：，
，
当时，是常函数，不具有单调性；
当时，由即可得，由即可得，
当时，由即可得，由即可得，
综上所述：当时，是常函数，没有单调区间；
当时，的单调递区间是，的单调减区间是，
（Ⅱ）当时，，
由可得；由可得，
所以在单调递增，在单调递减，
因为存在不相等的实数，，使得，
当时，，当趋近于时，趋近于，
所以，
所以，即
两边同时取对数可得：，即，
设，则，且，
由可知，
而
，
令，则，所以
所以，
所以在上单调递减，故，
即，所以，，
则有，
即.
4．已知函数.
（1）求的单调区间与极值.
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，极大优值，无极小值；（2）证明见解析.
【分析】
首先求函数的导数，利用导数和单调性，极值点的关系，即可求解；
（2）首先由条件变形为，即，通过构造函数，，转化为极值点偏移问题，即可求解.
【详解】
（1）解：的定义域为，.
当时，；当时，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
故在处取得极大值，且极大值为，无极小值.
（2）证明：易知，，
即，.
不妨设，，.
（1）可知，，
当时，，
当时，，
设，，
则，
因为，，
所以，在区间上单调递增，
，
所以，
又因为，，所以，
即，故.
5．已知函数，其中，且.
（1）讨论的单调性；
（2）若直线恒在函数图像的上方，求实数的取值范围；
（3）若存在，，使得，求证：.
【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）写出函数的定义域并求导，进而讨论参数a，最后求出函数的单调性；
（2）将问题转化为不等式恒成立问题，进而求出a的范围；
（3）构造函数，进而求出函数的单调性，然后将化到同一单调区间，最后得到答案.
【详解】
（1）的定义域为，.
①当时，，∴函数在上单调递增.
②当时，在区间上，；在区间上，，
∴在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减