人教高中数学专题36 导数放缩证明不等式必刷100题(解析版).docx

专题36 导数放缩证明不等式必刷100题
1．已知函数.
（1）求的最大值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：.
【答案】
（1） （2） （3）证明见解析
【分析】
（1）利用导数判断的单调性，根据单调性确定其最大值；
（2）利用参变分离得到，即，令，研究函数的单调性求其最大值；
（3）由（1）知，即，令，则，即，由n的任意性代入求和可得证.
（1）
，定义域为，求导，
令，求导，
在单调递减，且，
所以当时，，，单调递增；
所以当时，，，单调递减；
；
（2）
∵，∴，令，
原问题等价于，
∵，令，得
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以,
所以实数的取值范围为；
（3）
证明：由（1）知，即，即，当且仅当时等号成立，
令，∵，∴，即，即
，，，，
累加可得：
又
所以﹒
2．已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）（i）当时，恒成立，求正整数的最大值；
（ii）证明：．
【答案】
（1）答案见解析
（2）（i）3；（ii）证明见解析
【分析】
（1）求导后，分k≤0和k>0讨论即可；
（2）（i）转化为寻求f(x)min>0，需要找隐零点的范围
（ii）将所证结论两边取对数，再运用（i）的结论可得，令x＝1+n（n+1），则ln[n（n+1）+1]＞2﹣，从而可证.
（1）
，x＞0，
当k≤0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调递增，没有极值；
当k＞0时，由f′（x）＞0得x＞k，由f′（x）＜0得0＜x＜k，
所以f（x）在（0，k）上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，此时函数f（x）的极小值f（k）＝lnk﹣k+2，没有极大值；
（2）
（i）当x＞1时，f（x）＞0恒成立，即只要f（x）min＞0即可，
由（1）k＞0时，f（x）在（0，k）上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，
（a）若k≤1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）min＞f（1）＝1满足题意；
（b）当k＞1时，f（x）在（0，k）上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，f（x）min＝f（k）＝lnk﹣k+2＞0，
令g（x）＝lnx﹣x+2，则＜0，
所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，
且g（2）＝ln2＞0，g（3）＝ln3﹣1＞0，g（4）＝ln4﹣2＜0，
所以存在x0∈（3，4）使得g（x0）＝0，
则g（x）＝lnx﹣x+2＞0的解集为（1，x0），
综上k的取值范围（﹣∞，x0），其中x0∈（3，4），
所以正整数k的最大值3；
（ii）证明：要证
两边取对数，即证
也即证
由（i）知，
令x＝1+n（n+1），则ln[n（n+1）+1]＞2﹣
所以
所以（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞．
3．已知函数．
（1）求的极大值点和极小值点；
（2）若函数，当时，证明：．
【答案】
（1）极大值点为，极小值点为
（2）证明见解析
【分析】
（1）对求导得，并解方程，判断根两侧的导数的符号，即可得的极大值点和极小值点；
（2）利用分析法，通过构造函数，利用函数的单调性和放缩法即可证得结果．
（1）
定义域为R，导函数，
由，得或，
令，得；
令，得或．
所以在，上单调递增，在上单调递减．
故的极大值点为，极小值点为．
（2）
欲证，只需证，
即证
设函数，
则，
令，得；令，得．
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
即当时，．
设函数，
则，
所以在上单调递减，
则，即，
所以，即，
又，所以，（点拨：放缩法是常用的证明不等式的方法）
所以当时，．
4．已知函数．
（1）求的最大值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：
【答案】
（1）－1；
（2）[]；
（3）证明见解析﹒
【分析】
(1)利用导数判断f(x)的单调性，根据单调性确定其最大值；
(2)∵x＞0，利用参变分离得到，问题转为求的最大值问题，研究的单调性求其最大值；
(3)由(1)知f(x)＝，即，即，令x＝，则，则＝ln(n＋1)＜．
（1）
定义域为，
，
令
，
在单调递减，
∵，
单调递增，
单调递减，
；
（2）
∵，∴，
令，
原问题等价于，
∵，
所以单调递增，单调递减，
所以,
；
（3）证明：由(1)知f(x)＝，即，即，当且仅当x＝0时等号成立，
令x＝，∵，∴，即，
∴＝ln(n＋1)，
即ln(n＋1)＜，﹒
5．