人教专题01 复数 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题一 《复数》讲义
知识梳理.复数
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：
向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
3．复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
题型一.复数的有关概念
1．若z＝（3﹣i）（a+2i）（a∈R）为纯虚数，则z＝（　　）
A．163i B．6i C．203i D．20
【解答】解：z＝（3﹣i）（a+2i）＝3a+2+（6﹣a）i，
∵z＝（3﹣i）（a+2i）（a∈R）为纯虚数，
∴3a+2＝0，且6﹣a≠0，
得a=−23，此时z=203i，
故选：C．
2．已知i是虚数单位，若z（1+3i）＝i，则z的虚部为（　　）
A．110 B．−110 C．i10 D．−i10
【解答】解：由z（1+3i）＝i，得z=i1+3i=i(1−3i)(1+3i)(1−3i)=3+i10=310+i10，
∴z的虚部为110．
故选：A．
3．已知复数z=2i1+i（i虚数单位），则z⋅z=（　　）
A．2 B．2 C．1 D．12
【解答】解：由题意知|z|=|2i||1+i|=|2|2=2，
利用性质z⋅z=|z|2，得z⋅z=2，
故选：B．
4．若a−ii=b+2i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a+b的值（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【解答】解：∵a−ii=−ai﹣1＝b+2i，其中a、b∈R，i是虚数单位，
∴a＝﹣2，b＝﹣1
∴a+b＝﹣3．
故选：A．
5．设复数z满足z=i−11+i，则|z|＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．2
【解答】解：z=i−11+i=−(1−i)22=i，
故|z|＝1，
故选：A．
6．设复数z满足1+z1−z=i，则|z|＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．2
【解答】解：∵复数z满足1+z1−z=i，
∴1+z＝i﹣zi，
∴z（1+i）＝i﹣1，
∴z=i−1i+1=i，
∴|z|＝1，
故选：A．
7．若复数z满足z（1﹣i）＝2i，则下列说法正确的是（　　）
A．z的虚部为i B．z为实数 C．|z|=2 D．z+z=2i
【解答】解：因为z（1﹣i